2018.09.25 bzoj1856: [Scoi2010]字符串（组合数学）

最新推荐文章于 2020-01-13 20:23:43 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/ldxcaicai/p/9738205.html

本文探讨了在特定条件下计数问题的解决方法，通过将问题映射到二维平面上，利用类似卡特兰数的计算方式，解决了n不等于m时的路径计数问题。介绍了如何通过翻折图像避免非法状态，最终给出了一种高效的计算方案。

传送门
如果有n==m的条件就是卡特兰数。
但现在n不一定等于m。
我们可以考虑用求卡特兰数一样的方法来求答案。
我们知道有一种求卡特兰数的方法是转到二维平面求答案。
这道题就可以这样做。
我们将这个序列映射到二维平面上。
相当于从 $(0, 0)$ 出发，每次只能向右上方或者向右下方走对应着选1/0，最后应该停在 $(n + m, n - m)$ 。
但这样会出现非法状态。
如何排除？
我们发现如果出现非法状态一定会穿过直线 $y = - 1$ ，这样我们把图像关于 $y = - 1$ 翻折，起点就变成了 $(0, - 2)$ 。
这样总方案数是 $(n+mn)\binom {n+m} {n}$ ，不合法的就是 $(n+mm−1)\binom {n+m} {m-1}$ 。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 20100403
#define ll long long
using namespace std;
inline ll ksm(ll x,int p=mod-2,ll ret=1){
	while(p){
		if(p&1)ret=ret*x%mod;
		x=x*x%mod,p>>=1;
	}
	return ret;
}
ll n,m;
inline ll C(ll x,ll y){
	ll ret=1,tmp=1;
	for(int i=1;i<=x;++i)ret=ret*i%mod;
	for(int i=1;i<=y;++i)tmp=tmp*i%mod;
	(ret*=ksm(tmp))%=mod,tmp=1;
	for(int i=1;i<=x-y;++i)tmp=tmp*i%mod;
	return (ret*ksm(tmp))%mod;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	printf("%lld",(C(n+m,n)-C(n+m,m-1)+mod)%mod);
	return 0;
}