洛谷P3389 【模板】高斯消元法（+判断是否唯一解）

最新推荐文章于 2024-07-13 09:34:32 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/8183834.html

本文介绍了一种通过高斯消元法判断线性方程组是否存在唯一解的方法，并给出了具体的C++实现代码。文章详细解释了如何确定‘关键元’以及如何通过检查这些元素来判断解的存在性和唯一性。

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3389

这里主要说说怎么判断不存在唯一解

我们把每一行的第一个非零元称为关键元

枚举到一个变量，如果剩下的行中该变量的系数都是0，那么这个元素就是一个自由元

若方程组有唯一解，第i行的关键元是第i个

否则，一定至少存在某一行i，它的关键元是第j个（j>i）

具体实现：

假设当前枚举到第i行，我们会把第i行之后的第i列元素最大的那一行交换到第i行

只需要换完之后加一个判断：if(fabs(a[r][i])<eps) 即可

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 101
const double eps=1e-7;
int n;
double a[N][N];
void read(int &x)
{
    x=0; int f=1; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) { if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
    while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); }
    x*=f;
}
bool Gauss()
{
    int r;
    double f;
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        r=i;
        for(int j=i+1;j<n;++j)
            if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i])) r=j;
        if(fabs(a[r][i])<eps) return false;
        if(r!=i) 
            for(int j=0;j<=n;++j) swap(a[r][j],a[i][j]);
        for(int k=i+1;k<n;++k)
        {
            f=a[k][i]/a[i][i];
            for(int j=i;j<=n;++j) a[k][j]-=f*a[i][j];
        }
    }
    for(int i=n-1;i>=0;--i)
    {
        for(int j=i+1;j<n;++j) a[i][n]-=a[j][n]*a[i][j];
        a[i][n]/=a[i][i];
    }
    return true;
}
int main()
{
    int x;
    read(n);
    for(int i=0;i<n;++i)
        for(int j=0;j<=n;++j)
        {
            read(x);
            a[i][j]=x;
        }
    if(!Gauss()) { puts("No Solution"); return 0; }
    for(int i=0;i<n;++i) printf("%.2lf\n",a[i][n]);
}

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