【暖*墟】 #数论# 矩阵乘法与高斯消元

最新推荐文章于 2022-07-16 23:09:47 发布

flora715_hss

最新推荐文章于 2022-07-16 23:09:47 发布

阅读量695

点赞数

分类专栏： C++ 知识点数论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/flora715/article/details/82499603

版权

本文深入探讨了矩阵乘法与高斯消元法，通过概念介绍、过程模拟及代码实现，详细阐述了这两种重要的矩阵运算。并提供多个编程题目，如洛谷p3390的矩阵快速幂，以及poj 3318的随机化算法应用，帮助读者巩固理解和应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【矩阵乘法与高斯消元】

【例题4】hdu 2157 How many ways

【例题5】洛谷 p1349 广义斐波拉契数列

一. 概念引入

1.高斯消元的概念方法

根据数学知识可知：

然后我们尝试解方程组：

得出解的情况：

【具体过程模拟】

我们首先确定一个方程组作为例子。

x-2y+3z=6
4x-5y+6z=12
7x-8y+10z=21

先将它转化为矩阵（3*3的系数矩阵，加上最后一列之后是增广矩阵）：

1 -2 3 6
4 -5 6 12
7 -8 10 21

解决这个方程组，我们会希望它变成如下形式（单位矩阵）：

1 0 0 a
0 1 0 b
0 0 1 c

这样就可以表示为x=a,y=b,z=cx=a,y=b,z=cx=a,y=b,z=c。

我们使用高斯消元，一步一步将每个未知数约去。

这种方法是以列为单位消去的。首先我们将第一列转化为1 0 0的形式。

往往是将这个系数绝对值最大的方程转移到当前处理的这一行，可以减小误差。

所以我们先将矩阵变成这样：

7 -8 10 21
4 -5 6 12
1 -2 3 6

然后将正在处理的方程式化简，让正被处理的系数化1：

1 -8/7 10/7 3
4 -5 6 12
1 -2 3 6

然后使用加减法将第二个与第三个方程组的第一个系数化0：

1 -8/7 10/7 3
0 -3/7 2/7 0
0 -6/7 11/7 3

然后这时候第一列就被化简完成。

同理我们化去第二行与第三行，步骤如下：

1.化简第二行

1 -8/7 10/7 3
0 1 -2/3 0
0 -6/7 11/7 3

2.用第一行减第二行×(-8/7),第三行减第二行×(-6/7)

1 0 2/3 3
0 1 -2/3 0
0 0 1 3

3.第三行已经为1，直接用第一行减去第三行×2/3，第二行减去第三行×(-2/3)

1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3

最后我们就得到了一组解x=1,y=2,y=3x=1,y=2,y=3x=1,y=2,y=3。

【具体代码实现】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<deque>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;

/*【p3389】高斯消元模板：求解线性方程组  */

void reads(int &x){ //读入优化（正负整数）
	int fx=1;x=0;char s=getchar();
	while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')fx=-1;s=getchar();}
	while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
	x*=fx; //正负号
}

const double EPS=1E-8;
double A[110][110]; //【一定要用非整形！】

int main(){
    int n; reads(n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++)
            scanf("%lf",&A[i][j]); //读入系数
        scanf("%lf",&A[i][n]); //读入值(变为增广矩阵)
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        int max_one=i;
        for(int j=i;j<n;j++) //选择一个在当前列上【系数绝对值最大的】调换过来
            if(f

最低0.47元/天解锁文章