【LOJ】#2289. 「THUWC 2017」在美妙的数学王国中畅游

最新推荐文章于 2025-08-13 10:25:05 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/ivorysi/p/9077215.html

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#数据结构与算法

本文介绍了一种结合LCT（链剖）与泰勒展开的算法思路来解决一类涉及三角函数和指数函数的复杂查询更新问题。通过将特定函数转换为多项式形式并利用LCT进行区间操作，实现了高效的查询更新。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题解

我们发现，题目告诉我们这个东西就是一个lct

首先，如果只有3，问题就非常简单了，我们算出所有a的总和，所有b的总和就好了

要是1和2也是多项式就好了……其实可以！也就是下面泰勒展开的用处，我们可以用一个多项式取逼近这个函数，而且，多项式次数越高越准确，我们大概到13次多项式就好了

如何创造出这个多项式呢，泰勒展开的式子是这样的
\(\sum_{i = 0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_{0}) (x - x_{0})^{i}}{i!}\)
其中\(f^{(i)}(x)\)表示\(f(x)\)的\(i\)阶导数

然后问题就变成了维护13个值的和的lct了

然后，如何求导
根据高中选修2-2
我们有
\(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x))\)
对于第一类型的函数
\(sin^{(1)}(ax + b) = a\cdot cos(ax + b)\)
\(sin^{(2)}(ax + b) = -a^{2}\cdot sin(ax + b)\)
\(sin^{(3)}(ax + b) = -a^{3}\cdot cos(ax + b)\)
\(sin^{(4)}(ax + b) = a^{4}\cdot sin(ax + b)\)
4次一个轮回

对于第二类型的函数
\(f(x)^{(1)} = a\cdot e^{ax + b}\)
\(f(x)^{(2)} = a^{2}\cdot e^{ax + b}\)
\(f(x)^{(n)} = a^{n}\cdot e^{ax + b}\)

= =lct的cut是，先把一个点变成根，另一个点Access一下，再Splay成根，然后断掉根节点的左儿子

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
//#define ivorysi
#define pb push_back
#define MAXN 100005
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
using namespace std;
typedef long long int64;
typedef double db;
int N,M;
char s[25];
db fac[20];
struct Tr {
    Tr *lc,*rc,*fa;
    db sum[14],f[14];
    bool rev;
    void Update() {
    for(int i = 0 ; i <= 13 ; ++i) sum[i] = f[i];
    if(lc) for(int i = 0 ; i <= 13 ; ++i) sum[i] += lc->sum[i];
    if(rc) for(int i = 0 ; i <= 13 ; ++i) sum[i] += rc->sum[i];
    }
    void Reverse() {
    rev ^= 1;swap(lc,rc);
    }
    void Pushdown() {
    if(rev) {
        if(lc) lc->Reverse();
        if(rc) rc->Reverse();
        rev = 0;
    }
    }
}*tr[MAXN];
bool which(Tr *u) {
    return u == u->fa->rc;
}
bool isRoot(Tr *u) {
    if(!u->fa) return 1;
    return u->fa->rc != u && u->fa->lc != u;
}
void Rotate(Tr *u) {
    Tr *v = u->fa,*w = v->fa;
    Tr *b = u == v->lc ? u->rc : u->lc;
    if(!isRoot(v)) (v == w->lc ? w->lc : w->rc) = u;
    u->fa = w;v->fa = u;
    if(b) b->fa = v;
    if(u == v->lc) v->lc = b,u->rc = v;
    else v->rc = b,u->lc = v;
    v->Update();
}
void Splay(Tr *u) {
    static Tr* que[MAXN];
    int tot = 0;Tr *x;
    for(x = u ; !isRoot(x) ; x = x->fa) que[++tot] = x;
    que[++tot] = x;
    for(int i = tot ; i >= 1 ; --i) que[i]->Pushdown();
    while(!isRoot(u)) {
    if(!isRoot(u->fa)) {
        if(which(u->fa) == which(u)) Rotate(u->fa);
        else Rotate(u);
    }
    Rotate(u);
    }
    u->Update();
}
void Access(Tr *u) {
    for(Tr *x = NULL ; u ; x = u, u = u->fa) {
    Splay(u);
    u->rc = x;
    u->Update();
    }
}
Tr* FindRoot(Tr *u){
    Access(u);Splay(u);
    Tr *res = u;
    res->Pushdown();
    while(res->lc) {res = res->lc;res->Pushdown();}
    return res;
}
void MakeRoot(Tr *u) {Access(u);Splay(u);u->Reverse();}
void Link(Tr *u,Tr *v) {MakeRoot(u);u->fa = v;}
void Cut(Tr *u,Tr *v) {MakeRoot(u);Access(v);Splay(v);v->lc = u->fa = 0;v->Update();}
db Select(Tr *u,Tr *v,db x) {
    MakeRoot(u);Access(v);Splay(u);
    db res = 0,t = 1;
    for(int i = 0 ; i <= 13 ; ++i) {
    res += t * u->sum[i];
    t *= x;
    }
    return res;
}
void Change(Tr *u,int ty,db a,db b) {
    MakeRoot(u);
    memset(u->f,0,sizeof(u->f));
    if(ty == 1) {
    db x = 1;
    for(int i = 0 ; i <= 13 ; ++i) {
        if(i % 4 == 0) u->f[i] = x * sin(b) / fac[i];
        if(i % 4 == 1) u->f[i] = x * cos(b) / fac[i];
        if(i % 4 == 2) u->f[i] = -x * sin(b) / fac[i];
        if(i % 4 == 3) u->f[i] = -x * cos(b) / fac[i];
        x *= a;
    }
    }
    else if(ty == 2) {
    db v = exp(b),x = 1;
    for(int i = 0 ; i <= 13 ; ++i) {u->f[i] = v * x / fac[i];x *= a;}
    }
    else {
    u->f[1] = a;u->f[0] = b;
    }
    u->Update();
}
void Solve() {
    scanf("%d%d",&N,&M);
    scanf("%s",s + 1);
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1 ; i <= 13 ; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i;
    int f,u,v;db a,b;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
    tr[i] = new Tr;tr[i]->lc = tr[i]->rc = tr[i]->fa = 0;
    scanf("%d%lf%lf",&f,&a,&b);
    Change(tr[i],f,a,b);
    }
    for(int i = 1 ; i <= M ; ++i) {
    scanf("%s",s + 1);
    if(s[1] == 'a' || s[1] == 'd') {
        scanf("%d%d",&u,&v);++u;++v;
        if(s[1] == 'a') Link(tr[u],tr[v]);
        if(s[1] == 'd') Cut(tr[u],tr[v]);
    }
    else if(s[1] == 'm') {
        scanf("%d%d%lf%lf",&u,&f,&a,&b);++u;
        Change(tr[u],f,a,b);
    }
    else {
        scanf("%d%d%lf",&u,&v,&a);++u;++v;
        if(FindRoot(tr[u]) != FindRoot(tr[v])) puts("unreachable");
        else printf("%.8e\n",Select(tr[u],tr[v],a));
    }
    }
}

int main() {
#ifdef ivorysi
    freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
    Solve();
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/ivorysi/p/9077215.html