[bzoj4001] [TJOI2015]概率论

最新推荐文章于 2025-09-11 18:44:42 发布

weixin_30867015

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CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：数据结构与算法

原文链接：http://www.cnblogs.com/hbyer/p/10114734.html

本文介绍了一种计算有根二叉树叶子节点期望数量的方法，通过巧妙地利用卡特兰数和生成函数，推导出了简洁的数学公式，并提供了一个高效的C++实现。

Description

Input

输入一个正整数N，代表有根树的结点数

Output

输出这棵树期望的叶子节点数。要求误差小于1e-9

Sample Input

Sample Output

1.000000000

HINT

1<=N<=10^9

solution

神仙题，~~（思维难度适中，码量极低，解法自然）~~

设\(a_n\)为\(n\)个节点的二叉树的个数，\(b_n\)为\(n\)个节点二叉树所有方案的叶子节点数之和，那么答案显然为\(a_n/b_n\)。

那么枚举左右子树有多少节点显然可以得到：
\[ a_n=\sum_{i=0}^{n-1}a_ia_{n-i-1} \]
~~(众所周知)~~这就是卡特兰数，即：
\[ a_n=\frac{1}{n-1}\binom{2n}{n} \]
对于\(b_n\)，同样枚举左右子树节点个数可得：
\[ b_n=\sum_{i=0}^{n-1}a_i*b_{n-i-1}+b_{i}*a_{n-i-1} \]
即
\[ b_n=2\sum_{i=0}^{n-1}a_ib_{n-i-1} \]
然后考虑这两个函数的生成函数，设：
\[ F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\\ G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}b_ix^i\\ \]

然后注意到上面关于\(a\)的式子是一个卷积形式，构造生成函数的乘积：
\[ F^2(x)=\sum_{p=0}^\infty \sum_{i=0}^{p}a_ia_{p-i}x^p \]
乘\(x\)右移：
\[ \begin{align} &~~~~~xF^2(x)\\&=\sum_{p=1}^\infty \sum_{i=0}^{p-1}a_ia_{p-i-1}x^p \\&=\sum_{p=1}^\infty a_px^p \end{align} \]
补上第0项，得：
\[ F(x)=xF^2(x)+1 \]
对于\(F(x)\)，解方程得：
\[ F(x)=\frac{1\pm \sqrt{1-4x}}{2x} \]
对于取正号时：
\[ \lim_{x\rightarrow0}F(x)=\infty \]
函数不收敛，舍去。

取负号时：
\[ \lim_{x\rightarrow0}F(x)=1 \]
所以
\[ F(x)=\frac{1- \sqrt{1-4x}}{2x} \]

同样，对于\(b_n\)，也是一个卷积形式，得：
\[ \begin{align} &~~~~~2xG(x)F(x)\\&=\sum_{p=1}^\infty 2\sum_{i=0}^{p-1}a_ib_{p-i-1}x^p\\ &=\sum_{p=2}^\infty b_px^p \end{align} \]
注意这里\(p=1\)时后面的卷积为0，所以补上一个\(x\)得：
\[ G(x)=2xF(x)G(x)+x \]
解得：
\[ G(x)=\frac{x}{\sqrt{1-4x}} \]

然后注意到：
\[ (F(x)*x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}=\frac{G(x)}{x} \]
对于\((F(x)*x)^\prime\)，第\(n\)项为：
\[ a_nx^n\rightarrow a^nx^{n+1}\rightarrow (n+1)a^nx^n \]
对于\(G(x)/x\)，第\(n+1\)项为：
\[ b_{n+1}x^{n+1}\rightarrow b_{n+1}x^n \]
所以比较系数可得：
\[ (n+1)a^nx^n=b_{n+1}x^n \]
即：
\[ na_{n-1}=b_n \]
考虑到
\[ a_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \]
所以答案为：
\[ \frac{b_n}{a_n}=\frac{na_{n-1}}{a_n}=\frac{n(n+1)}{2(2n-1)} \]
代码....~~读入输出小清新题~~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

int main() {
    int n;read(n);
    printf("%.9lf\n",(double)n*(n+1)/2/(2*n-1));
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/hbyer/p/10114734.html