UESTC 1330 柱爷与远古法阵【高斯消元】

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#数据结构与算法

本文介绍了一道关于随机行走和含有传送门的长廊问题，使用动态规划与高斯消元法解决到达终点的期望步数问题。文章详细阐述了解题思路及C++代码实现。

题目链接【http://acm.uestc.edu.cn/#/problem/show/1330】

题意：有一个长度为L（L <= 300）的长廊，有一人站在最左边，他要到最右边去，他每次可以走1 ~ 6 步，每一次走的步数是随机发生的。并且某些位置有传送门（a，b）表示a位置有个传送门，可以直接到达b，然后求出到达最右边的期望是多少？

题解：首先，我们先列出公式，设dp[i]表示从 i 点到达最右边的期望，则1、dp[L] =0 。2、如果a有传送门b那么dp[a] = dp[b] 。否则 dp[x] = (dp[x+1]+dp[x+2] + dp[x+y])/6+1;( x + y <= L && y <= 6)。化简后就得到，6 * dp[x] - dp[x+1] - dp[x+2] - ... - dp[x+y] == 6。那么我们一共可以列出L个方程，一共有L个未知量，只要用高斯消元解出来就可以了。

注意：1、每个点最多只有一个传送门，2、这道题存在无解的情况，3、这道题精度卡的很高。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long double LB;
const LB eps = 1e-14;
const int maxn = 350 + 15;
LB a[maxn][maxn], x[maxn];
int Guess(int equ, int var)
{
    int i, j, k, col, max_r;
    for(k = 1, col = 1; k <= equ && col <= var; k++, col++)
    {
        max_r = k;
        for(i = k + 1; i <= equ; i++)
            if(fabs(a[i][col] ) > fabs(a[max_r][col])) max_r = i;
        if(fabs(a[max_r][col]) < eps )  return 0;//无解
        if(k != max_r)
        {
            for(j = col; j <= var; j++)  swap(a[k][j], a[max_r][j]);
            swap(x[k], x[max_r]);
        }
        x[k] /= a[k][col];
        for(j = col + 1; j <= var; j++)  a[k][j] /= a[k][col];
        a[k][col] = 1;
        for(i = 1; i <= equ; i++)
            if(i != k)
            {
                x[i] -= x[k] * a[i][col];
                for(j = col + 1; j <= var; j++) a[i][j] -= a[k][j] * a[i][col];
                a[i][col] = 0;
            }
    }
    return 1;
}
int N, M;
int f[maxn];//表示某点有没有传送门
int main ()
{
    scanf("%d %d", &N, &M);
    memset(a, 0, sizeof(a));
    for(int i = 1; i <= N; i++) f[i] = 0;
    for(int i = 1; i <= M; i++)
    {
        int u, v;
        scanf("%d %d", &u, &v);
        f[u] = v;
    }
    for(int i = 1; i < N; i++)
    {
        a[i][i] = 6.0;
        if(f[i])
        {
            a[i][f[i]] = -6.0;
            continue;
        }
        x[i] = 6.0;
        for(int j = 1; j <= 6; j++)
        {
            if(i + j <= N) a[i][i + j] -= 1.0;
            else a[i][i] -= 1.0;
        }
    }
    a[N][N] = 1.0, x[N] = 0;
    if(!Guess(N, N)) printf("-1\n");
    else printf("%.12Lf\n", x[1]);
    return 0;
}

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