LightOJ1038 Race to 1 Again

最新推荐文章于 2020-10-20 20:15:44 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Divinity/p/10974570.html

本文探讨了一种通过预处理和因子分解解决特定数学问题的方法，该问题涉及计算一系列数字被除至1的期望次数。文章详细解释了如何利用数学期望的概念，通过离线查询和因子数量来优化计算过程。

题意

\(T\in[1,10^4]\)组数据，每组给定一个数字\(n\in[1,10^5]\)。\(n\)每次除以\(n\)的一个因子，商记为新的\(n\)。求\(n\)被除到\(1\)的期望次数，答案允许\(10^{-6}\)以内的误差。

解法

预处理出\([1,10^5]\)以内的所有\(n\)的期望，离线查询。
对于每个数\(n\)，可以累加其因子的期望次数，然后除去\(n\)的因子数再\(+1\)，记为\(n\)的期望次数。

原理

显然选中任何一个因子是等概率事件。
记\(x\)被除到\(1\)的期望次数为\(E(x)\)，\(n\)的因子为\(a_i\)，选中\(a_i\)的概率为为\(P(A_i)\)，则\[E(n)=\sum\limits_{a_i}\{[E(a_i)+1]P(A_i)\}\]。若记\(n\)的因子数为\(fac\)，则由上式可得\[E(n)=\frac{\sum\limits^{fac}[E(a_i)+1]}{fac}=\frac{\sum\limits^{fac}E(a_i)}{fac}+1\]。若因子按大小排序，则最后一个因子必定是自身，即\[E(n)=\frac{\sum\limits^{fac-1}E(a_i)+E(n)}{fac}+1\]，移项得\[E(n)=\frac{\sum\limits^{fac-1}E(a_i)+fac}{fac-1}\]。

反思

学术须严谨。宁可煮久一些，也不可吃夹生饭。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define reg register int
using namespace std;
const int LIM = 1e5;
double dp[LIM + 1];
int main(){
    for(reg i = 2; i <= LIM; ++ i){
        double num = 0, ans = 0;
        for(reg j = 1; j * j <= i; ++ j){
            if(i % j == 0){
                ++ num;
                ans += dp[j];
                if(j != i / j){ // 此处由于dp[i]还未计算，所以不特判i / j == i不影响答案。
                    ++ num;
                    ans += dp[i / j]; // 同理 
                }
            }
            dp[i] = (ans + num) / (num - 1); // 经化简的公式
        }
    }
    int T, Case = 0; scanf("%d", & T);
    while(T --){
        int n;
        scanf("%d", & n);
        printf("Case %d: %.6f\n", ++ Case, dp[n]);
    }
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/Divinity/p/10974570.html