【学习笔记】单调栈

一、概念：

单调栈的本质还是一个栈，只不过是栈的元素从栈底到栈顶单调递增或者是单调递减。

二、单调栈的维护：

每加入一个元素，将这个元素和栈顶元素相比较，（假设你维护的是一个单调递增的栈），如果当前元素大于等于栈顶元素，说明这个元素

没有破坏这个栈的单调性，直接加入；如果当前元素小于栈顶元素，直接向栈中加入元素会破坏栈的单调性，这时我们需要将栈顶元素依次弹出，知道遇到第一个

大于或者等于当前元素的元素，再将该元素压入栈中。时间复杂度O（n），所有的元素都会进栈一次。

三、单调栈的性质：

（1）单调栈嘛，栈中的元素是单调的。

（2）每加入一个元素，为了维护单调栈的单调性，会将破坏单调性的元素都删掉。

（3）单调栈的每一个元素，可以向左找到第一个比它大的元素，也可以找到第一个比它小的元素。

四、例题

题目描述：

地上从左到右竖立着 n 块木板，从 1 到 n 依次编号，如下图所示。我们知道每块木板的高度，在第 n 块木板右侧竖立着一块高度无限大的木板，现对每块木板依次做如下的操作：对于第 i 块木板，我们从其右侧开始倒水，直到水的高度等于第 i 块木板的高度，倒入的水会淹没 ai 块木板（如果木板左右两侧水的高度大于等于木板高度即视为木板被淹没），求 n 次操作后，所有 ai 的和是多少。如图上所示，在第 4 块木板右侧倒水，可以淹没第 5 块和第 6 块一共 2 块木板，a4 = 2。

解释：

我们在往一个木板的右边倒水时，怎样才能使水停止不在流呢。由图可知，当遇到右边第一个比当前木板高的木板使，水不会再流。

这时淹没的木板的个数为 向右遇到第一个比它高的木板的下标-当前木板的下标-1；我们根据单调栈的性质3可知我们可以用一个单

调栈来做这个题。我们来维护一个单调减栈，这个栈中每一个元素右边都是第一个大于等于它的元素。

1、将1压入栈中。

2、将2压入栈中，发现比1木板的高度高，则a1=2-1-1=0，将1木板弹出栈中表示已经处理完成。此时答案为0；

3、3木板因为比栈顶的2木板小，直接压入栈中。

4、当将4木板压入栈中时，发现栈顶元素3木板小于4木板，此时3木板遇到了右边第一个比它大的元素，计算a3=4-3-1=0；3木板处理完成，弹出，此时答案为0.

5、将5木板压入。

6、将6木板压入栈中，发现栈顶的5木板高度小于6木板，5号木板遇到了右边第一个大于它的元素，a5=6-5-1=0;5号元素弹出。

我们发现我们栈中元素是递减的。

发现栈中仍不为空，又因为6号木板的最后有一个无限高的木板，所以栈中元素一定都会被最后一块木板清理。

总结：

单调栈的题目一定要联想到它的性质：求出某个数的左边或者右边第一个比它大或者小的元素，而且总时间复杂度O(N)。

五、单调栈练习题

（1）

poj 3250

题解

（2）

poj 2796

题解

（3）

bzoj 1113

题解

 

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