算法导论 CLRS 5.3-5 解答

5.3-5 证明程序PERMUTE-BY-SORTING的数组P中，所有元素都唯一的概率至少为1 - 1/n。

 

构造

   1. 随机变量指示器 I(i, j)  = 0 (P[i]!=P[j] ) 或者 1 (P[i]=P[j] ),  P[i] , P[j] 为i, j分配的随机优先级，E[I(i, j)] = 1/n^3

   2. 随机变量X为出现冲突优先级的对数 

E[X] = n(n-1)/2n^3

根据马尔科夫不等式：Pr[X>=1] <= E[X]/1 

                                            =   n(n-1)/2n^3

                                            <   1/n

 

Pr[X==0]  =  1-Pr[X>=1]

                >= 1-1/n

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