BZOJ3442: 学习小组

最新推荐文章于 2021-03-18 23:45:59 发布

weixin_30809173

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/wzj-is-a-juruo/p/5284771.html

本文详细介绍了一个具体的费用流问题实例：如何在确保尽可能多的学生参与学习小组的前提下，计算学校财务处的最小支出。文章通过构建费用流模型来解决该问题，并提供了完整的代码实现。

Description

【背景】

坑校准备鼓励学生参加学习小组。

【描述】

共有n个学生，m个学习小组，每个学生有一定的喜好，只愿意参加其中的一些学习小组，但是校领导为学生考虑，规定一个学生最多参加k个学习小组。财务处的大叔就没那么好了，他想尽量多收钱，因为每个学生参加学习小组都要交一定的手续费，不同的学习小组有不同的手续费。然而，事与愿违，校领导又决定对学习小组组织者进行奖励，若有a个学生参加第i个学习小组，那么给这个学习小组组织者奖励Ci*a^2元。在参与学生（而不是每个学习小组的人数总和）尽量多的情况下，求财务处最少要支出多少钱（若为负数，则输出负数）（支出=总奖励费-总手续费）。

Input

输入有若干行，第一行有三个用空格隔开的正整数n、m、k。接下来的一行有m个正整数，表示每个Ci。第三行有m个正整数，表示参加每个学习小组需要交的手续费Fi。再接下来有一个n行m列的矩阵，表若第i行j列的数字是1，则表示第i个学生愿意参加第j个学习小组，若为0，则为不愿意。

Output

输出只有一个整数，为最小的支出。

Sample Input

3 3 1
1 2 3
3 2 1
111
111
111

Sample Output

-2
【样例解释】
参与学生最多为3，每个学生参加一个学习小组，若有两个学生参加第一个学习小组，一个学生参加第二个学习小组（一定要有人参加第二个学习小组），支出为-2，可以证明没有更优的方案了。
【数据范围与约定】
100%的数据，0＜n≤100，0＜m≤90，0＜k≤m，0＜Ci≤10，0＜Fi≤100。

费用流建模题。。。

因为Ci*a^2不好处理，我们可以将其拆成费用为Ci、3Ci、5Ci、7Ci、(2n-1)Ci这N条边，由数列的基本知识可以证明这是对的。

因为要求参与的人数最多，我们可以先添加一条费用为-inf的有向边，最后再加回来。

之后的建模就简单了，见code吧。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i!=-1;i=next[i])
using namespace std;
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
typedef long long ll;
const int maxn=310;
const int maxm=200010;
const int inf=1e9;
struct ZKW {
    int n,m,s,t,first[maxn],next[maxm],vis[maxn],inq[maxn];
    ll cost,ans,d[maxn];
    struct Edge {int from,to,flow;ll cost;}edges[maxm];
    void init(int n) {
        this->n=n;m=0;
        memset(first,-1,sizeof(first));
    }
    void AddEdge(int u,int v,int w,ll c) {
        edges[m]=(Edge){u,v,w,c};next[m]=first[u];first[u]=m++;
        edges[m]=(Edge){v,u,0,-c};next[m]=first[v];first[v]=m++;
    }
    int Q[maxn];
    int BFS() {
        int l=0,r=0;
        rep(i,1,n) d[i]=1ll<<60,inq[i]=0;
        Q[r++]=t;d[t]=0;
        while(l!=r) {
            int x=Q[l++];if(l==maxn-1) l=0;
            inq[x]=0;
            ren {
                Edge& e=edges[i^1];
                if(e.flow&&d[e.from]>d[x]+e.cost) {
                    d[e.from]=d[x]+e.cost;
                    if(!inq[e.from]) {
                        inq[e.from]=1,Q[r++]=e.from;
                        if(r==maxn-1) r=0;
                    }
                } 
            }
        }
        rep(i,0,m-1) edges[i].cost+=d[edges[i].to]-d[edges[i].from];cost+=d[s];
        return cost<0;
    }
    int DFS(int x,int a) {
        if(x==t||!a) {ans+=a*cost;return a;}
        int f,flow=0;vis[x]=1;
        ren {
            Edge& e=edges[i];
            if(!e.cost&&e.flow&&!vis[e.to]&&(f=DFS(e.to,min(a,e.flow)))) {
                e.flow-=f;edges[i^1].flow+=f;
                flow+=f;a-=f;if(!a) break;
            }
        }
        return flow;
    }
    ll solve(int s,int t) {
        this->s=s;this->t=t;cost=ans=0;
        while(BFS()) do memset(vis,0,sizeof(vis));while(DFS(s,inf));
        return ans;
    }
}sol;
int c[maxn],f[maxn];
char s[maxn];
int main() {
    int n=read(),m=read(),k=read();
    rep(i,1,m) c[i]=read();
    rep(i,1,m) f[i]=read();
    int S=n+m+m+1,T=n+m+m+2;sol.init(T);
    rep(i,1,n) sol.AddEdge(S,i,1,-inf),sol.AddEdge(S,i,k-1,0);
    rep(i,1,m) {
        sol.AddEdge(i+n+m,T,n,-f[i]);
        rep(j,1,n) sol.AddEdge(i+n,i+n+m,1,c[i]*(j*2-1));
    }
    ll sum=0;
    rep(i,1,n) {
        int ok=0;
        scanf("%s",s+1);
        rep(j,1,m) if(s[j]=='1') sol.AddEdge(i,j+n,1,0),ok=1;
        if(ok) sum+=inf;
    }
    printf("%lld\n",sol.solve(S,T)+sum);
    return 0;
}