乘性函数

最新推荐文章于 2023-11-06 14:56:19 发布

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本文探讨了乘性函数的定义及其性质，并通过实例解释了如何利用这些性质。此外，还介绍了欧拉函数的概念及它作为乘性函数的应用。

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① 乘性函数：如果对于任意的正整数n和m，且n和m互素，函数f()有f(n*m)=f(n)*f(m)。

② 如果一个函数f是乘性函数，那么它的和函数F(n)=f(d1)+f(d2)+....+f(dk)也是乘性函数，其中 di | n (即n%di==0）

③ 如果n和m互素，gcd(i,n*m)=gcd(i,n)*gcd(i,m)，所有gcd()函数乘性函数。

④ 设phi()是欧拉函数，即phi(n)表示小于n的正整数中与n素数的个数，欧拉函数phi()也是乘性函数。

⑤ 关于欧拉函数有定理：设p是素数，a是一个正整数，则 phi(p^a)=p^a - p^(a-1)。

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《初等数论及其应用》第七章乘性函数

buxizhizhou1的博客

10-28

1071

导言在本章中，我们研究定义在整数集合上的一类称为乘性函数（或积性函数）的特殊函数。乘性函数具有这样的性质，即它在一个整数上的函数值等于对该整数做素幂因子分解后所有素数幂上的函数值之积。我们将证明一些重要的函数是乘性的，包括因子个数函数、因子和函数以及欧拉 φ\varphiφ 函数。利用这些函数是乘性函数的性质，基于正整数 nnn 的素幂因子分解，我们得到这些函数在 nnn 处的函数值的公式. 进一步，我们将研究一类称为完全数的特殊正整数，这类数与其真因子之和相等。我们将证明所有偶

初等数论 2.7 乘性函数

在浅滩呛水

02-10

1248

定义：定义在所有正整数上的函数称为算术函数. 定义：若算术函数对任意两个互素的正整数nnn和mmm，均有f(mn)=f(m)⋅f(n)f(mn)=f(m)\cdot f(n)f(mn)=f(m)⋅f(n)，则称fff为乘性函数.若对∀m,n∈Z+\forall m,n\in\Z^+∀m,n∈Z+，均有f(mn)=f(m)⋅f(n)f(mn)=f(m)\cdot f(n)f(mn)=f(m)⋅f(n...

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因子和与因子个数（乘性函数）

weixin_33806914的博客

01-22

401

乘性函数的详解：http://blog.youkuaiyun.com/luyuncheng/article/details/8017016#t3 在非数论的领域，积性函数指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数。　　在数论中的积性函数：对于正整数n的一个算术函数 f(n)，若f(1)=1，且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。若对于某积性函数 ...

【算法讲4：乘性函数（上）】欧拉函数 | 因子和函数 | 因子个数函数

溢流眼泪的博客

01-29

1673

【算法讲4：乘性函数】一些定义 / 定理欧拉 ϕ\phiϕ 函数因子和与因子个数内容出自：《初等数论及其应用》第六版第七章一些定义 / 定理算数函数：定义在所有正整数上的函数乘性函数（或积性函数）：如果算数函数 fff 对任意两个互素的正整数 m、nm、nm、n，均有 f(mn)=f(m)f(n)f(mn)=f(m)f(n)f(mn)=f(m)f(n) 完全乘性函数（或完全积性函数）：如果算数函数 fff 对任意两个正整数 m、nm、nm、n，均有 f(mn)=f(m)f(n)f(mn)=f(

POJ2480 Longge's problem【乘性函数】

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03-26

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题目大意：给一个正整数n，求Σgcd(i，n)，(1 <= i <= n)。思路：如果m，n互质，则gcd(i，m*n) = gcd(i，m) * gcd(i，n)，所以gcd是乘性函数。因为乘性函数的和函数也是乘性函数，所以Σgcd(i，N)也是乘性函数。首先考虑gcd(x，n) = 1，这样的数和刚好为欧拉函数之和sum( φ(n))，现在考虑gcd(x，n) = p 的情况，因为gcd(x/p,n/p) = 1，就变成了欧拉函数之和sum(φ(n/p))，所以gcd(x，n) = p，这种

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### 乘性函数和莫比乌斯反演公式的详细解析 #### 一、乘性函数的概念与性质乘性函数是数论中的一个重要概念，它不仅在纯数学研究中有广泛应用，在计算机科学、密码学等领域也有重要地位。本文将详细介绍乘性函数...

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10-04

同态滤波是一种在图像处理领域中广泛应用的技术，主要用于去除图像中的乘性噪声，并实现图像的增强。在图像处理中，噪声通常分为两种类型：加性噪声和乘性噪声。加性噪声是图像信号与噪声相加的结果，而乘性噪声则是...

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10-11

四则运算的连续性定理指的是四则运算（加、减、乘、除）在某一点或某一区间内的连续性。例如，在点（0,0）处，函数f（x）=x^2是连续的，因为当x趋近于0时，f（x）也趋近于0。同样，在点（0,0）处，函数g（x）=x^2...

《数论及应用》第6章乘性函数问题(上)

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1.欧拉函数：关于欧拉函数，求的是指不超过n的与n互素的正整数的个数，按一般思想就是对数n进行素因子分解之后，所有的素数幂的欧拉函数之积定理：设p是一个素数，a是正整数，那么 φ (p^a)=p^a-p^(a-1) 推论：若n是奇数，φ（2n）=φ(n) 两个常用定理：欧拉定理：对任何两个互质的正整数a,m（m>=2）有a^φ(m)≡1(mod m) 费马小定理：当m是质数的时候

【算法讲5：乘性函数（中）】莫比乌斯函数 | 莫比乌斯反演 | 莫比乌斯反演应用

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01-30

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【算法讲5：乘性函数（下）】前置⌈\lceil⌈莫比乌斯函数⌋\rfloor⌋⌈\lceil⌈莫比乌斯反演⌋\rfloor⌋⌈\lceil⌈莫比乌斯反演应用⌋\rfloor⌋ 内容出自：《初等数论及其应用》第六版第七章前置【算法讲4：乘性函数（上）】我们知道了⌈\lceil⌈算数函数⌋\rfloor⌋，⌈\lceil⌈乘性函数⌋\rfloor⌋和⌈\lceil⌈和函数⌋\rfloor⌋。 ⌈\lceil⌈莫比乌斯函数⌋\rfloor⌋ 有一个算数函数 fff，FFF 是它的和函数 F(n)=

乘性函数个人题解

Done3Sang的专栏

08-15

293

1.求所有满足σ(n)+ϕ(n)=2n1.求所有满足\sigma(n) + \phi(n) = 2n1.求所有满足σ(n)+ϕ(n)=2n 解: 设n=p1a1p2a2...ptatn = p_{1}^{a_1}p_{2}^{a_2}...p_{t}^{a_t}n=p1a1p2a2...ptat σ(n)+ϕ(n)\sigma(n) + \phi(n)σ(n)+ϕ(n) =∏k=1t(1+pk+pk2+...+pkak)+∏k=1t(pkak−pkak−1)= \prod_{k = 1}^{t}

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06-16

1682

如果参与乘性计算的某个数不是数值，后台会调用Number()将这个数转换成数字，在进行乘性计算； 1.乘法：乘法操作符有星号（*）表示，用于计算两个数值的乘积；乘法操作遵循下面的规则： a）如果两个都是数值，执行按照常规的乘法计算，即两个整数两个负数计算的结果还是整数，尔如果只有一个操作数有符号，那结果就是负数，如果乘机超过了数值的表示范围用Infinity或者-Infinity表示；

乘性操作符

白小白的博客

12-23

150

乘性操作符 1、乘法操作符两侧为number类型，则进行相应的乘法运算一侧为NAN，则结果为NAN 一侧为undefined，布尔类型，null，则进行隐式转换再进行相应的乘法 2、除法操作符两侧为number类型，则进行相应的除法运算一侧为NAN，则结果为NAN 一侧为undefined，布尔类型，null，则进行隐式转换再进行相应的除法一个不为零的数除以零，结果为Infinity 0/0的结果为NAN 3、取模运算符如果两侧为number，则进行相应的除法运算，结果返回余数。任何

第 2 章基本概念(乘性与加性操作)------------(7)

WEL测试

11-21

1186

2.5.4 乘性操作符 ECMAScript定义了3个乘性操作符：乘法、除法和求模。这些操作符与Java、C或者Perl中的相应操作符用途类似，只不过在操作数为非数值的情况下会执行自动的类型转换。如果参与乘性计算的某个操作数不是数值，后台会先使用Number()转型函数将其转换为数值。空字符串将被当作0，布尔值true将被当作1。 2.5.4.1 乘法乘法操作符由一个星号

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JackDan9

08-22

538

JavaScript基础(一)之[乘性，加性，关系，相等，条件，赋值，逗号]操作符乘性操作符 ECMAScript定义了3个乘性操作符：乘法、除法和求模。这些操作符与Java、C或者Perl中的相应操作符用途类似，只不过在操作数为非数值的情况下会执行自动的类型转换。如果参与乘法计算的某个操作数不是数值，后台会先使用Number()转型函数将其转换为数值。也就是说，空字符串将被当作0，布尔值...

2.5 费马定理和欧拉定理

tang7mj的博客

11-06

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积性函数系列（一）：欧拉函数

8rfuz的博客

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2350

http://zhengyidong.me/2014/11/积性函数系列（一）：欧拉函数/ 积性函数系列（一）：欧拉函数 NOVEMBER 14, 2014 AT 1:23 AM 本系列是数论篇章的第一篇（于是又挖了一个数论的坑orz），主要介绍、证明初等数论中一些重要的概念、结论。在微积分学领域，积性函数指的是具有f(ab)=f(a)f(b)的函数，在数

POJ 2480 Longge's problem （欧拉函数+乘性函数）

Jonariguez 吾本优秀

04-25

1266

Longge's problem Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 7343 Accepted: 2422 Description Longge is good at mathematics and he likes to think about

数论基础——数论函数(1)

雨潇的博客

12-03

4186

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乘的函数是什么

最新发布

03-19

<think>好的，用户这次问的是“乘的函数是什么”。首先，我需要确定用户的具体需求。之前的对话中，用户询问了泰森多边形法和等雨量线法，可能是在学习地理信息系统或水文学相关内容。现在这个问题比较数学，但需要结合上下文来理解。 “乘的函数”这个表述有点模糊，可能是指乘法相关的函数。首先，我应该考虑数学中的乘法函数，比如基本的乘法运算，或者是更复杂的函数如乘积函数、累积乘积等。另外，用户可能指的是某种特定的函数类型，比如生成乘积的函数，或者是编程中的乘法函数实现。接下来，我需要分析可能的解释。首先，基础数学中的乘法函数，比如f(x)=a*x，或者其他形式的乘积，如多项式乘法。其次，可能是指多个函数相乘形成的复合函数，比如f(x)*g(x)。另外，在编程或数学软件中，可能有特定的乘法函数，比如NumPy中的np.multiply，或者Excel中的PRODUCT函数。同时，用户可能是在学习数学或编程，需要了解如何定义或使用乘法函数。考虑到用户之前的问题涉及计算方法，可能他们现在需要处理数据或模型中的乘法操作，例如在计算区域平均降水量时可能用到的加权乘积，类似之前提到的泰森多边形法中的加权平均公式中的乘法部分。还需要注意用户可能的误解，比如将“乘法函数”与其他概念混淆，例如卷积（虽然卷积涉及积分和乘法，但并非单纯的乘的函数）。因此，回答中需要明确界定乘法函数的定义，避免混淆。然后，我应该组织回答的结构。首先解释乘法函数的基本概念，然后分情况讨论不同的类型，例如一元乘法函数、多元乘法函数、函数间的乘积，以及在编程中的应用。同时，举出例子帮助用户理解，比如线性函数中的乘法，多项式函数，或者编程中的实现方式。需要确保回答准确且易于理解，使用用户熟悉的例子，比如之前提到的水文学中的公式，如加权平均中的乘法步骤，可能可以联系之前的例子来增强连贯性。最后，检查是否有遗漏的可能性，例如用户是否可能指的是其他领域的乘法函数，如矩阵乘法、点积等，但根据问题表述，可能更倾向于基础数学中的乘法函数。不过，简要提到这些变种可能也有帮助，以防用户需要更广泛的理解。总结，回答的结构应该是：定义乘法函数，分点介绍不同类型和应用场景，举例说明，并关联用户之前的学习内容，确保回答全面且符合用户的实际需求。</think>### 乘的函数：定义、类型与应用 #### 一、基本定义 **“乘的函数”** 通常指数学中直接涉及乘法运算的函数，其核心是通过乘法关系描述变量之间的依赖。根据应用场景的不同，可以分为以下类型： --- #### 二、常见类型与示例 1. **一元线性乘法函数** - **形式**：$f(x) = k \cdot x$，其中$k$为常数。 - **特点**：输出值与输入值成正比，图像为过原点的直线。 - **应用**：物理学中的匀速运动（$s = v \cdot t$），经济学中的单价计算（总价=单价×数量）。 2. **多元乘法函数** - **形式**：$f(x, y) = x \cdot y$，或更复杂的组合如$f(x, y) = a x^m y^n$。 - **特点**：描述多变量间的乘积关系。 - **应用**：几何中矩形面积（$A = l \cdot w$），概率论中独立事件联合概率（$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$）。 3. **函数间的乘积** - **形式**：若$f(x)$与$g(x)$为两个函数，其乘积函数为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。 - **示例**： - $f(x) = \sin x$，$g(x) = e^x$ → $h(x) = \sin x \cdot e^x$ - 多项式乘法：$(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$ 4. **累积乘积函数** - **形式**：对序列进行连续乘积运算，例如： $$ \prod_{i=1}^n a_i = a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n $$ - **应用**：计算阶乘（$n! = \prod_{k=1}^n k$）、复利模型中的累积增长。 --- #### 三、编程中的实现在计算机科学中，“乘的函数”通常指实现乘法运算的代码模块： - **Python示例**： ```python def multiply(a, b): return a * b ``` - **Excel函数**：`=PRODUCT(A1:A10)`（计算区域数据的乘积） - **数学库扩展**：如`numpy.prod()`用于数组元素的连乘。 --- #### 四、与加法的对比 | **运算** | **数学本质** | **核心作用** | |----------|----------------------------|----------------------------------| | 加法函数 | $f(x) = x + c$ | 描述线性叠加或偏移 | | 乘法函数 | $f(x) = k \cdot x$ | 描述比例缩放、相互作用或放大效应 | --- #### 五、实际应用场景 1. **科学计算**：工程中功率公式$P = V \cdot I$（电压×电流）。 2. **数据分析**：加权计算（如泰森多边形法中区域平均降水量公式$\bar{P} = \sum (A_i P_i)/A_{\text{总}}$）。 3. **信号处理**：调制信号时通过乘法实现频谱搬移。 --- #### 六、注意事项 - **非线性效应**：当乘法作用于变量自身（如$x^2$）时，可能产生非线性关系。 - **零值影响**：若函数形式为$f(x) = x \cdot g(x)$，则$x=0$时无论$g(x)$如何，结果恒为0。 - **单位协调**：物理量相乘可能生成新单位（如速度×时间=长度）。如果需要更具体的场景分析（如矩阵乘法、卷积运算等），可进一步说明需求！