【BZOJ1449】[JSOI2009]球队收益（网络流，费用流）

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本文深入解析了【BZOJ1449】[JSOI2009]球队收益问题，通过网络流和费用流算法解决了一个关于球队比赛收益最大化的问题。文章详细介绍了如何将球队收益问题转化为最小费用最大流问题，并提供了完整的代码实现。

【BZOJ1449】[JSOI2009]球队收益（网络流，费用流）

题面

BZOJ
洛谷

题解

首先对于一支队伍而言，总共进行多少场比赛显然是已知的，假设是\(n_i\)场，那么它的贡献是：\(C_ix^2+D_iy^2=C_ix^2+D_i(n_i-x_i)^2=(C_i+D_i)x^2-2nD_ix+n^2D_i\)。
我们假设\(x\)增加了\(1\)，考虑贡献的增量。
\((C_i+D_i)((x+1)^2-x^2)-2nD_i((x+1)-x)\)
化简之后也就是\((C_i+D_i)(2x+1)-2nD_i\)。
我们把每只队伍按照它可以赢的场次拆点，相邻场次之间加上一条费用为变化量的边就好了。
然而实际建图中并不需要拆点，因为增加量是递增的，所以只需要直接连到汇点上面去就好了。
这样子先求出初始状态下的贡献，再加上最小费用最大流就是最终的答案。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAX 50000
#define MAXL 500000
inline int read()
{
    int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
struct Line{int v,next,w,fy;}e[MAXL];
int h[MAX],cnt=2;
inline void Add(int u,int v,int w,int fy)
{
    e[cnt]=(Line){v,h[u],w,fy};h[u]=cnt++;
    e[cnt]=(Line){u,h[v],0,-fy};h[v]=cnt++;
}
int S,T,Cost,Flow,dis[MAX],pv[MAX],pe[MAX];
bool vis[MAX];
bool SPFA()
{
    memset(dis,63,sizeof(dis));dis[S]=0;
    queue<int> Q;Q.push(S);vis[S]=true;
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();Q.pop();
        for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].v;
            if(e[i].w&&dis[v]>dis[u]+e[i].fy)
            {
                dis[v]=dis[u]+e[i].fy;pe[v]=i;pv[v]=u;
                if(!vis[v])vis[v]=true,Q.push(v);
            }
        }
        vis[u]=false;
    }
    if(dis[T]>1e9)return false;
    int flow=1e9;
    for(int i=T;i!=S;i=pv[i])flow=min(flow,e[pe[i]].w);
    for(int i=T;i!=S;i=pv[i])e[pe[i]].w-=flow,e[pe[i]^1].w+=flow;
    Cost+=flow*dis[T];Flow+=flow;
    return true;
}
int n,m,w[MAX],l[MAX],c[MAX],d[MAX],sum[MAX];
int a[MAX],b[MAX],ans,lst[MAX],tot;
int main()
{
    n=read();m=read();S=0;T=n+m+1;tot=n+m;
    for(int i=1;i<=n;++i)w[i]=read(),l[i]=read(),c[i]=read(),d[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)sum[i]=w[i]+l[i];
    for(int i=1;i<=m;++i)++sum[a[i]=read()],++sum[b[i]=read()];
    for(int i=1;i<=n;++i)ans+=c[i]*w[i]*w[i]+d[i]*(sum[i]-w[i])*(sum[i]-w[i]);
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        Add(S,n+i,1,0);Add(n+i,a[i],1,0),Add(n+i,b[i],1,0);
        Add(a[i],T,1,(c[a[i]]+d[a[i]])*(2*w[a[i]]+1)-2*sum[a[i]]*d[a[i]]);
        Add(b[i],T,1,(c[b[i]]+d[b[i]])*(2*w[b[i]]+1)-2*sum[b[i]]*d[b[i]]);
        ++w[a[i]];++w[b[i]];
    }
    while(SPFA());
    printf("%d\n",ans+Cost);
    return 0;
}

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