UVa 11825 (状压DP) Hackers' Crackdown

最新推荐文章于 2019-08-05 18:22:12 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/AOQNRMGYXLMV/p/3910723.html

本文详细解析状压DP（状态压缩动态规划）的思路与应用，以解决服务器瘫痪问题为例，深入探讨如何通过位运算将复杂问题简化，并通过数学模型将其抽象出来。文中提供了一个具体算法实例，包括数组定义、枚举技巧、状态转移方程及代码实现，旨在帮助读者理解和掌握状压DP在实际问题中的运用。

这是我做状压DP的第一道题，状压里面都是用位运算来完成的，只要耐下心来弄明白每次位运算的含义，还是容易理解的。

题意：

有编号为0~n-1的n台服务器，每台都运行着n中服务，每台服务器还和若干台其他服务器相连。对于每台服务器，你可以选择停止该台以及与这台服务器相连的服务器的一项服务。如果一台服务器的所有服务都被停止，则这台服务器瘫痪。问最多能使多少台服务器瘫痪

转化为数学模型(题目是如何抽象成这种数学模型的也要好好想想)：

把n个集合尽可能多的分成若干组，使得每组所有集合的并集为全集。这里集合Pi表示服务器i以及与其相邻服务器的集合

算法：

数组P[i]表示服务器i以及与其相邻服务器的集合的二进制表示

枚举所有集合可能的组合情况，一共有2ⁿ种，计算其并集保存在cover中

f[S]表示子集S最多可以分成多少组

状态转移方程：

枚举S的子集S0

f[S] = max{f[S], f[S - S0] + 1 | 这里S0是S子集而且cover[S0]为全集}

这里再说一下枚举S0用代码实现的技巧：

在二进制中S0的1的个数肯定比S要少，所以从数值大小上来看S0 < S

我们先令S0 = S - 1

那么 S & (S0 - 1)就是S的子集了

因为上面的表达式满足两个条件：

S0 < S
S0的1的个数比S要少

S ^ S0的含义：

S ^ S0代表以S为全集S0的补集，为什么用异或运算实现呢？自己动手模拟一下就清楚了，嘿嘿

好了，写到这里，这道题就分析的很透彻了。看来位运算还是蛮有意思的

 1 //#define LOCAL
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <cstring>
 5 #include <algorithm>
 6 using namespace std;
 7 
 8 const int maxn = (1 << 16) + 10;
 9 int cover[maxn], p[20], f[maxn];
10 
11 int main(void)
12 {
13     #ifdef LOCAL
14         freopen("11825in.txt", "r", stdin);
15     #endif
16 
17     int n, kase = 0;
18     while(scanf("%d", &n) == 1 && n)
19     {
20         memset(f, 0, sizeof(f));
21         for(int i = 0; i < n; ++i)
22         {
23             int m, x;
24             scanf("%d", &m);
25             p[i] = (1 << i);
26             while(m--)
27             {
28                 scanf("%d", &x);
29                 p[i] |= (1 << x);
30             }
31         }
32 
33         for(int i = 0; i < (1 << n); ++i)
34         {
35             cover[i] = 0;
36             for(int j = 0; j < n; ++j)
37             {
38                 if(i & (1 << j))
39                     cover[i] |= p[j];
40             }
41         }
42 
43         f[0] = 0;
44         int all = (1 << n) - 1;
45         for(int s = 1; s < (1 << n); ++s)
46         {
47             f[s] = 0;
48             for(int s0 = s; s0; s0 = (s0 - 1) & s)
49                 if(cover[s0] == all)
50                     f[s] = max(f[s], f[s0 ^ s] + 1);
51         }
52 
53         printf("Case %d: %d\n", ++kase, f[all]);
54     }
55     return 0;
56 }

代码君

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