矩阵迹（trace）与行列式（determinate）的一些性质

1. 迹（trace）

矩阵的迹（trace）表示矩阵 $A$ 主对角线所有元素的和，即
tr(A)=a11+a22+⋯+ann\text{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}tr(A)=a11​+a22​+⋯+ann​

性质：
(1) tr(A)=tr(AT)tr(A)=tr(A^T)tr(A)=tr(AT)
(2) $tr(AB)=tr(BA)$
(3) $tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)$ 循环性
(4) 若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $tr(A)=tr(B)$，因为 tr(A)=tr(PBP−)=tr(PP−B)=tr(B)tr(A)=tr(PBP^{-})=tr(PP^-B)=tr(B)tr(A)=tr(PBP−)=tr(PP−B)=tr(B)

2. 行列式（determinant）

矩阵 $A$ 的行列式值记为 $\text{det}(A)$。
它的性质：
(1) det(A)=det(AT)det(A)=det(A^T)det(A)=det(AT)
(2) det(A)=1/det(A−)det(A)=1/det(A^-)det(A)=1/det(A−)
(3) $det(AB)=det(B)det(A)$
(4) 若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $det(A)=det(B)$

转载于:https://www.cnblogs.com/robinchen/p/11047504.html