数学

数列的极限

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• 设\(\{x_n\}\)为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数\(\epsilon\)(不论它是多么的小),总存在正整数N,使得当n>N的时候,不等式\(|x_n-a|<\epsilon\)都成立那么就称常数a是数列\(|x_n|\)的极限,或者称数列\(|x_n|\)收敛于a,记作.
  

  \(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a\)
  或者
  \(x_n\rightarrow a(n\rightarrow \infty)\)

  上面的文字描述翻译一下就可以的到数学公式的描述:
  

  \(\forall\epsilon>0,\quad\exists n>N,\quad|x_n-a|<\epsilon,\quad\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a\)

已知\(x_n=\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}\)证明数列\({x_n}\)的极限为0.

\(\quad\)证:\(|x_n-a|=|\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}-0|=\frac{1}{(n+1)^2}<\frac{1}{n^2}\)
\(\forall\epsilon>0\)为了使\(|x_n-a|<\epsilon\)只需:

\(\frac{1}{n^2}<\epsilon\)即\(n>\frac{1}{\sqrt[]{\epsilon}}\)
这个\(\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\)是一个确定的实数,大于\(\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\)的正整数有无穷多个,任取其中一个为N,则当n>N的时候,就有\(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}=0\)

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函数的极限

• 设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A,对任意给定的正数\(\epsilon\)(不论它有多么的小),总存在正数\(\delta\),使得当\(x\)满足不等式\(0<|x-x_0|\)时对应的函数值都满足不等式\(|f(x)-A|<\delta\)那么常数A就叫做函数\(f(x)\)当\(x\rightarrow x_0\)的极限,记作\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\)或\(f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)\)

  上面的文字描述翻译一下就可以的到数学公式的描述:
  $
  \forall \epsilon>0,\quad\exists \delta>0,\quad0<|x-x_0|<\delta,\quad|f(x)-A|<\epsilon
  $

证明\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2\)

(扯个蛋:在这里的x=1点实际上是没有定义的,但是这里是趋近于所以并没有什么吊关系)
不等式\(\frac{x^2-1}{x-1}-2\)可以化简为\(|x+1-2|\)即\(|x-1|\)


\(\quad\forall\epsilon>0\)为了使\(f(x)-A=|x-1|<\epsilon\)只需取$ \delta=\epsilon$也就是\(0<|x-1|<\delta\).所以当\(0<|x-1|<\delta\)的时候\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2\)

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