概率论05 离散分布

　　我们已经知道什么是离散随机变量。离散随机变量只能取有限的数个离散值，比如投掷一个撒子出现的点数为随机变量，可以取1，2，3，4，5，6。每个值对应有发生的概率，构成该离散随机变量的概率分布。

　　离散随机变量有很多种，但有一些经典的分布经常重复出现。对这些经典分布的研究，也占据了概率论相当的一部分篇幅。我们将了解一些离散随机变量的经典分布，了解它们的含义和特征。 

 

伯努利分布

　　伯努利分布(Bernoulli distribution)是很简单的离散分布。在伯努利分布下，随机变量只有两个可能的取值: 1和0。随机变量取值1的概率为p。相应的，随机变量取值0的概率为1-p。因此，伯努利分布可以表示成:

 

　　投掷一次硬币，出现正面，记录为1，出现背面，记录为0。这样我们就有一个伯努利随机变量。如果硬币是均匀的，那么p=0.5如果硬币是不均匀的，比如硬币出现正面的概率为0.8，那么p=0.8，我们可以绘制此分布如下:

 

二项分布

　　为了理解二项分布是如何出现的，我们假设下面情况：进行n次独立测试，每次测试成功的概率为p(相应的，失败的概率为1-p)。这n次测试中的“成功次数”是一个随机变量。这个随机变量符合二项分布(binomial distribution)。

　　二项分布可以从计数的角度来理解。n次测试，如果随机变量为k，意味着其中的k次成功，n-k次失败。从n次实验中挑选k个，根据计数原理，共有

种可能。其中的每种可能出现的概率为。因此，二项分布可以表示成为:

 

(“二项分布”的命名原因是，上面的P(X=k)等于二项式二项式展开的第k项。)

 

　　我们进行连续的10次打靶，如果每次中靶的概率为0.7， 那么在10次打靶中，打中靶的次数就是一个符合二项分布的随机变量。在这样的假设下n=10,p=0.7,k可以取值从0到10之间的任意整数。

 

泊松分布

泊松

　　泊松分布(Poisson distribution)是二项分布的一种极限情况，当，而时，二项分布趋近于泊松分布。这意味着我们进行无限多次测试，每次成功概率无穷小，但n和p的乘积是一个有限的数值。

　　泊松分布用于模拟低概率事件，比如地震。地震是很低概率的事件，我们想知道一段时间，比如十年内某地发生地震的总数，可以将十年划分为n个小时间段，每个时间段内地震发生的概率为p。我们假设小时间段很短，以致于不可能有两次地震发生在同一小时间段内，那么地震的总数是一个随机变量，趋近于泊松分布。

　　泊松分布的关键特征是，随机变量的取值与区间的长短成正比。这里的区间是广义的，它既可以表示时间，也可以表示空间。泊松分布有一个参数λ，我们可以将泊松分布写成如下形式:

 

k=0,1,2,...

λ=1和λ=5的泊松分布如下:

　　可以看到，λ决定了泊松分布的“重心”所在。比如地震的例子中，λ越大，k取大值的可能性越大，越有可能发生更多次的地震。我们将在统计中看到，如何利用观测的数据，来估计λ的取值。

 

几何分布

　　假设我们连续进行独立测试，直到测试成功。每次测试成功的概率为p。那么，到我们成功时，所进行的测试总数是一个随机变量，可以取值1到正无穷。这样一个随机变量符合几何分布(geometric distribution)。

　　随机变量取值为k时，意味前面的k-1次都失败了。因此，我们可以将几何分布表示成:

 

k=1,2,...

　　假设我们进行产品检验。产品的合格率为0.65。我们需要检验k次才发现第一个合格产品，k的分布表示如下:

 

可以看到，几何分布的概率质量函数呈递减趋势。我们也可以从表达式中得到该特征。

 

负二项分布

　　几何分布实际上是负二项分布(negative geometric distribution)的一种特殊情况。几何分布是进行独立测试，直到出现成功，测试的总数。负二项分布同样是进行独立测试，但直到出现r次成功，测试的总数k。r=1时，负二项分布实际上就是几何分布。

　　在连续的r次测试时，我们只需要保证最后一次测试是成功的，而之前的k-1次中，有r-1次成功。这r-1次成功的测试，可以任意存在于k-1次测试。因此，负二项分布的表达式为:

 

 

超几何分布

　　一个袋子中有n个球，其中r个是黑球，n-r是白球，从袋中取出m个球，让X表示取出球中的黑球的个数，那么X是一个符合超几何分布(hypergeometric distribution)的随机变量。

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