欧拉函数

　　欧拉函数：在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler's totient function)，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

　　欧拉函数的一些性质：

　　（1）对于素数p，φ（p）=p-1，对于两个素数φ（pq）=（p-1）*（q-1）//欧拉函数是积极性函数，但不是完全积极性函数。即φ（pq）=φ（p）*φ（q）只有在gcd（p，q）==1时成立

　　（2）对于一个正整数N的素数幂分解N=p1^q1*p2^q2……*pn^qn,φ（N）=N*(1-1/p1)*(1-1/p2)*……*(1-1/pn)；

　　（3）除了N=2，φ（N）都是偶数；

　　（4）设N为正整数，∑φ（d）=N（d|N）

　　（5）一个数的所有素因子之和时euler（n）*n/2

根据性质2，我们可以在O（sqrt（n））的时间内求出一个数的欧拉函数值

1 LL Euler(LL n){
2     LL res=n;
3     for(LL i=2;i*i<=n;i++){
4         if(n%i==0)res=res/i*(i-1);
5         whiel(n%i==0)n/=i;
6     }
7     if(n>1)res=res/n*(n-1);
8     return res;
9 }

筛法求一定范围欧拉函数值

 1 const int N =1e5+5;
 2 int phi[N];
 3 void Euler(){
 4     phi[1] = 1;
 5     for(int i = 2; i < N; i ++){
 6         if(!phi[i]){
 7             for(int j = i; j < N; j += i){
 8                 if(!phi[j]) phi[j] = j;
 9                 phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
10             }
11         }
12     }
13 }

上面提到当n，m时素数时φ（n）=n-1，和φ（nm）=φ（n）*φ（m）那么我们可以先求出素数对筛法进行优化 其实我也不太明白这个模板，但模板会抄就好（0.0）

 1 const int N=1e5+5;
 2 int tot,n,phi[N],pri[N];
 3 bool mark[N];
 4 
 5 void getphi(){
 6     phi[1]=1;
 7     for(int i=2;i<n;i++){
 8         if(!mark[i]){
 9             phi[i]=i-1;
10             pri[++tot]=i;
11         }
12         for(int j=1;j<tot;j++){
13             int x=pri[j];
14             if(i*x>n)break;
15             mark[i*x]=1;
16             if(i%x==0){
17                 phi[i*x]=phi[i]*x;
18                 break;
19             }
20             else phi[i*x]=phi[i]*phi[x];
21         }
22     }
23 }

 

转载于:https://www.cnblogs.com/wz-archer/p/10213373.html