2018.10.25 洛谷P4187 [USACO18JAN]Stamp Painting（计数dp）

最新推荐文章于 2024-11-01 08:37:44 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/ldxcaicai/p/10084823.html

本文介绍了一种使用动态规划(DP)解决组合数学中求不合法方案数问题的方法。通过倒序思考，将问题转化为求解特定条件下不合法方案的数量，利用前缀和进行状态转移，最终得出总方案数减去不合法方案数即为所求。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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其实本来想做组合数学的2333.
谁知道是道 $d p$ .
~~唉只能顺手做了~~

还是用真难则反的思想。
这题我们倒着考虑，只需要求出不合法方案数就行了。
这个显然是随便 $d p$ 的。
$f [i]$ 表示到第 $i$ 个格子不合法的方案数。
那么有两种情况。

$i < k$ ，则无论怎么当前格子染都不合法， $f [i] = f [i - 1] * m$
$i≥ki\geq k$ ，则从当前的格子向左染最多染到第 $i - k + 1$ 个格子，因此 $f[i]=(m−1)∑j=i−k+1i−1f[i]f[i]=(m-1)\sum _{j=i-k+1} ^{i-1}f[i]$

维护一个动态的前缀和来转移就行了。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
	int ans=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return ans;
}
typedef long long ll;
const int N=1e6+5,mod=1e9+7;
int n,m,k,f[N];
int main(){
	n=read(),m=read(),k=read();
	f[0]=1;
	int sum=0,ans=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)ans=1ll*ans*m%mod;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(i<k)f[i]=1ll*f[i-1]*m%mod;
		else f[i]=1ll*sum*(m-1)%mod;
		sum+=f[i];
		if(sum>=mod)sum-=mod;
		if(i>=k){
			sum-=f[i-k+1];
			if(sum<0)sum+=mod;
		}
	}
	ans-=f[n];
	if(ans<0)ans+=mod;
	cout<<ans;
	return 0;
}