bzoj5190: [Usaco2018 Jan]Stamp Painting （dp）-优快云博客

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本文探讨了一种利用动态规划解决印章排列计数问题的方法。给定不同颜色的印章和一张纸条，目标是计算所有可能的印章排列组合数量。文章详细介绍了如何通过递推公式计算合法排列，并给出了具体的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem

用 $M$ 种长为 $K$ 的印章（每种颜色均不同），给长为 $N$ 的纸条盖章。
问最后会得到多少种不同的状态。

Solution

反过来想，答案就是总数减去不合法情况。
总数也就是每个块随便选颜色，即 $m^n$
而每个印章长度为 $K$ ，因此如果最长的一段相同颜色的长度小于 $K$ ，那么就说明此情况不合法。

那么我们现在的认为就是求不合法的情况。
定义 $f [i]$ 表示到 $i$ 位置不合法的情况。
$f[i]=\sum f[j]*(m-1)\quad i-k+1<=j<i$
（表示从 $j + 1$ 到 $i$ 设置成与 $j$ 位置颜色不同的一种颜色，此时由定义前 $j$ 个中是没有大于等于 $k$ 个连续的颜色相同的，且 $j + 1$ 到 $i$ 长度小于 $k$ ）

维护个前缀和就好啦。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 1000010
#define mod 1000000007
#define ll long long
int n,m,k;
ll f[N],sum[N];
inline ll pow(ll x,int y){
    ll t=1;
    while(y){
        if(y&1) t=t*x%mod;
        x=x*x%mod;y>>=1;
    }return t;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    f[0]=1;sum[0]=1;
    for(int i=1;i<k;i++) f[i]=f[i-1]*m%mod,sum[i]=(sum[i-1]+f[i])%mod;
    for(int i=k;i<=n;i++){
        f[i]=(sum[i-1]-sum[i-k])%mod*(m-1)%mod;
        sum[i]=sum[i-1]+f[i];
    }
    printf("%lld\n",(pow(m,n)-f[n]+mod)%mod);
    return 0;
}