[Codeforces 15E] Triangle

计数特定路径算法

最新推荐文章于 2020-09-30 19:59:14 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/newera/p/9019071.html

本文介绍了一种计算从起点返回且不经过特定障碍物的路径数量的算法。通过观察路径规律，利用递推思想，结合数学公式推导，实现高效求解。文中提供了一个C++代码示例。

Brief Introduction:

$\text{[math]}$

求从N出发，回到N且不包含任何黑色三角的路径数

Algorithm:
假设从N点到第二层中间的节点M的路径数为k，易知总路径数为(k*k+1)*2

而从第第四层开始，每两行之间的形状是具有规律的，我们称之为一个“凹槽”。

每个“凹槽”的方案数是具有规律的：2n-2到2n间的方案数F(n)=2^n-3（不考虑从最外层跳到次外层）

所以到恰好到第2n层的总方案数S(n)=4*F(3)*F(4)......*F(n)，res=6+S(3)+S(4)....+S(n)

由于一共只能从最外层跳一次到次外层，所以将4乘出来

Code:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD=1e9+9;

int main()
{
    int n;cin >> n;
    
    if(n==2) return cout << 10,0;
    
    ll a=4,cur=4,res=6;
    for(int i=3;i<=n/2;i++)
        a=a*2%MOD,cur=(cur*(a-3+MOD))%MOD,res=(res+cur)%MOD;
    cout << 2*(res*res+1)%MOD;
    return 0;
}