Lp范数优化问题-迭代权重最小二乘算法

最新推荐文章于 2024-11-13 09:06:03 发布

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文章标签： matlab 数据结构与算法人工智能

原文链接：http://www.cnblogs.com/yuningqiu/p/9922885.html

迭代权重最小二乘(IRLS)算法用于求解Lp范数最小化问题，通过迭代将原问题转化为加权的最小二乘问题。在每一步迭代中，权重(w_i)与当前误差相关，并在优化过程中调整。该方法常用于压缩感知和稀疏编码等领域，将不易求解的L1问题转换为可导的L2问题。示例展示了IRLS在解决特定优化问题中的应用。

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迭代权重最小二乘(Iteratively reweighted least squares, IRLS) [1] 方法用于求解$p$范数($p$ norm)的最小化问题。问题如下：
\[\arg \min_{x} \sum_{i} | y_i - f_i (x) |^p\]
通过迭代的方法，在每次迭代我们都在解决一个加权的最小二乘问题：
\[ x^{t+1} = \arg \min_{x} ~ \sum_{i} w_i(x^t) | y_i - f_i (x^t) |^2 \]
此时，我们能够将原始的$p$ norm问题转化为2-norm的问题。同时我们此时引入了一个随着迭代次数而改变的变量$w_i(x^t)$。一般地，我们定义$t$ step的权重与$t$ step的误差，即$| y_i - f_i(x^t) |^p$有关。我们首先初始化变量$w_i^{t}$为：
\[ w_i^{0} = 1\]
即$W$矩阵的对角元素都为1，其他元素为0。在第$t$步，矩阵