ACM树状数组基础知识

1.先行知识

首先介绍lowbit(x)函数

lowbit(x)函数：lowbit(i)的意思是将i转化成二进制数之后，只保留最低位的1及其后面的0，截断前面的内容，然后再转成10进制数比如lowbit(7),7的二进制位是111，lowbit(7) = 1,6 = 110(2),lowbit(6) = 2,同理lowbit(4) = 4,lowbit(12) = 4,lowbit(2) = 2,lowbit(8) = 8。

具体计算方法：lowbit(x)=x&(-x);

我们知道，计算机在进行运算的时候采用的是补码，这里我们先来介绍一下原码，补码，和反码；

原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1]_原 = 0000 0001；[-1]_原=1000 0001；

 第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:1111 1111 ~0111 1111，即-127~127，原码是人脑最容易理解和计算的方式。

反码

反码的表示方法：正数的反码是本身，负数的反码在器原码的基础上，符号位不变，其余各位取反。

[+1]_原 = [0000 0001]_原=[00000001]_反

[-1]_原=[1000 0001]_原=[1111 1110]_反

补码

补码的表示方法：正数的补码就是其本身，负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1]_原 = [0000 0001]_原=[00000001]_补

[-1]_原=[1000 0001]_原=[1111 1111]_反

现在窝萌可以来用计算方法中的公式来计算lowbit(x)的值了，现在我们计算lowbit(12)的值，12的二进制数表示为0000 1100,由文章开头的那种做法我们可以得到lowbit(12)=100_（2），即为4，现在我们使用x&(-x)来计算一下，12的补码为0000 1100,-12补码为1111 0100，对这两个二进制数求与运算，得0000 0100,和第一种计算的方法得出的结果是相同的。

求lowbit(x)的代码：

1 int lowbit(x) 
2 {   
3     return x & -x;
4 }

2.树状数组

首先我们搞明白树状数组是用来干嘛的，现在有一个这样的问题：有一个数组a，下标从0到n-1，现在给你w次修改，q次查询，修改的话是修改数组中某一个元素的值；查询的话是查询数组中任意一个区间的和，w + q < 500000。

这个问题很常见，首先分析下朴素做法的时间复杂度，修改是O(1)的时间复杂度，而查询的话是O(n)的复杂度，总体时间复杂度为O(qn)；可能你会想到前缀和来优化这个查询，我们也来分析下，查询的话是O(1)的复杂度，而修改的时候修改一个点，那么在之后的所有前缀和都要更新，所以修改的时间复杂度是O(n)，总体时间复杂度还是O(qn)O。

可以发现，两种做法中，要么查询是O(1)，修改是O(n)；要么修改是O(1)，查询是O(n)。那么就有没有一种做法可以综合一下这两种朴素做法，然后整体时间复杂度可以降一个数量级呢？有的，对，就是树状数组。

 

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