ZOJ 1088 约瑟夫问题

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//1088约瑟夫问题
//  这里我用了简化算法，参考以下的说明，只是有点不同先把第一个删掉，从第二个开始数，
//  循环n-1遍（因为已去掉首个），最终剩下当前的第一个结束。
#include<iostream>
using namespace std;

 

int main()
{
    int n;
    while(cin>>n && n!=0)
    {
        int i;
        int ans;
        for(i=2;i<=32767;i++)
        {
            ans=0;
            int j;
            for(j=2;j<n;j++)      // 与这个for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;区别
                ans=(ans+i)%j;
            if(ans==0)            //相当于ans+1==1时结束
            {
                cout<<i<<endl;
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

 

/*  网上copy的问题算法

约瑟夫环问题的优化

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
   k   k+1   k+2   ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：
k      --> 0
k+1    --> 1
k+2    --> 2
...
...
k-2    --> n-2
k-1    --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;   (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

#include <stdio.h>

main()
{
   int n, m, i, s=0;
   printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
   for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
   printf ("The winner is %d\n", s+1);
}

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

note: m=2约瑟夫问题在Knuth的著作《具体数学》中有介绍，它采用了一种更高效的方法，可以用一个代数式来表示结果。类似的我已经推出m>2的递推公式情形，不过还没办法转换成单个代数式，而且程序实现起来可能比较麻烦，所以只好作罢。

*改进的递推公式
(1)i<m时 f[i]=(f[i-1]+m)%i;
(2)i>=m时 令i=km+r (0<=r<m) 则 f[i]=f[km+r]=f[k(m-1)+r]-r+floor((f[k(m-1)+r]-r-1)/(m-1))

  */

转载于:https://www.cnblogs.com/VRS_technology/archive/2010/05/11/1732300.html