[LOJ2002] [SDOI2017] 序列计数

最新推荐文章于 2020-04-06 19:29:47 发布

转载最新推荐文章于 2020-04-06 19:29:47 发布 · 89 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/hbyer/p/10839473.html

本文探讨了一个关于合数求和的问题，通过动态规划（DP）和矩阵快速幂的方法来解决大规模数据下的计算难题。核心在于利用补集转换思想，计算所有可能的组合减去仅使用合数的情况，采用矩阵优化DP转移过程，实现高效求解。

题目链接

LOJ：https://loj.ac/problem/2002

洛谷：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3702

Solution

考虑补集转换，用所有数减去只用合数的方案数，我们先考虑算所有数的

首先可以得到一个普及组\(\rm dp\)，\(f_{i,j}\)表示当前填了前\(i\)个，总和\({\rm mod}\ p\)为\(j\)的方案数。

记录一个\(cnt_i\)表示\({\rm mod}\ p\)为\(i\)的数的个数。

转移就是\(f_{i,j}=\sum_{k=0}^{p-1}f_{i-1,(j-k){\rm mod}\ p}\cdot cnt_k\)。

然后我们拿矩阵大力优化这个转移就可以过了。

复杂度\(O(p^3\log n)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++) 

const int maxm = 2e7+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 20170408;

int add(int x,int y) {return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int del(int x,int y) {return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
int mul(int x,int y) {return 1ll*x*y-1ll*x*y/mod*mod;}

int n,m,p;

struct Matrix {
    int a[102][102];
    Matrix () {memset(a,0,sizeof a);}
    Matrix operator * (const Matrix &r) const {
        Matrix c;
        for(int i=0;i<p;i++)
            for(int j=0;j<p;j++)
                for(int k=0;k<p;k++)
                    c.a[i][j]=add(c.a[i][j],mul(a[i][k],r.a[k][j]));
        return c;
    }
};

Matrix qpow(Matrix a,int x) {
    Matrix res;for(int i=0;i<p;i++) res.a[i][i]=1;
    for(;x;x>>=1,a=a*a) if(x&1) res=res*a;
    return res;
}

int pri[maxm],vis[maxm],tot,cnt1[102],cnt2[102];

void sieve() {
    cnt1[1]=cnt2[1]=1;
    for(int i=2;i<=m;i++) {
        if(!vis[i]) pri[++tot]=i;
        else cnt2[i%p]++;
        cnt1[i%p]++;
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=m;j++) {
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
}

int solve(int *t) {
    Matrix tp,res;
    for(int i=0;i<p;i++)
        for(int j=0;j<p;j++) tp.a[i][j]=t[(i-j+p)%p];
    for(int i=0;i<p;i++) res.a[i][0]=t[i];
    return (qpow(tp,n-1)*res).a[0][0];
}

int main() {
    read(n),read(m),read(p);sieve();
    write(del(solve(cnt1),solve(cnt2)));
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/hbyer/p/10839473.html