【LOJ3074】「2019 集训队互测 Day 3」操作序列计数

最新推荐文章于 2022-03-29 18:29:19 发布

cz_xuyixuan

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分类专栏：【OJ】LOJ 【类型】做题记录【算法】高精度【算法】动态规划【算法】数位DP

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_39972971/article/details/89788875

该博客主要解析了LOJ3074题目的解题思路，重点在于如何计算2号操作不超过特定次数的方案数。通过使用动态规划（DP）方法，从高位到低位处理，利用min{i,j}+2的性质优化了计算过程，将时间复杂度降低到O(K^2 * Log^3N)，并提供了问题的解决方案。" 127593135,8339497,使用RecyclerView实现Android手风琴效果,"['Android开发', 'RecyclerView', 'Java', 'UI设计', 'Android Studio']

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【思路要点】

考虑计算 $2$ 号操作不超过 $i$ 次的方案数。

它应当等于 $2$ 个 $k^0$ 的倍数、 $1$ 个 $k^1$ 的倍数、 $1$ 个 $k^2$ 的倍数、……、 $1$ 个 $k^i$ 的倍数总和为 $N$ 的方案数，从高位向低位 $d p$ ，那么第 $j$ 位可以填数的位置数应当为 $min\{i,j\}+2$ ，保留余数不超过 $(i + 2) k$ 的状态即可。

上述做法需要进行 $O (L o g N)$ 次 $d p$ ，但压位后已经可以通过。

注意到 $min\{i,j\}+2$ 在 $j$ 较小时只与 $j$ 有关， $j$ 较大时的 $d p$ 值就是隔板法形成的组合数，可以避免进行 $O (L o g N)$ 次 $d p$ ，改为从低位向高位进行一次 $d p$ 。

不计高精度运算的时间复杂度为 $O(K^2Log^3N)$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 55;
const int MAXNK = 605;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {
    
    x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {
    
    x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {