51nod 1486 大大走格子(容斥+dp+组合数)

最新推荐文章于 2021-04-10 22:34:34 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/sdfzsyq/p/10404628.html

本文介绍了一种使用动态规划(DP)方法解决迷宫路径计数问题的算法。通过定义状态转移方程，避免了暴力求解的高复杂度，实现了O(n^2)的时间复杂度。文章详细解释了算法思路，并提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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解题思路

　　暴力容斥复杂度太高，无法接受，考虑用\(dp\)。设\(f(i)\)表示从左上角开始不经过前面的阻断点，只经过\(i\)的阻断点。那么可以考虑容斥，用经过\(i\)的总方案数减去前面的阻断点到它的方案数，那么转移方程\[f(i)=C(x_i+y_i-2,x_i)-\sum\limits_{j=1}^{i-1}f(j)C(x_i-x_j,y_i-y_j)\]
　　时间复杂度\(O(n^2)\)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=200005;
const int M=2005;
const int MOD=1e9+7;

inline int rd(){
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) f=ch=='-'?0:1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return f?x:-x;  
}

int h,w,n,f[M],fac[N],inv[N];
struct Node{
    int x,y;
    friend bool operator<(const Node A,const Node B){
        return A.x==B.x?A.y<B.y:A.x<B.x;
    }
}node[M];

inline int fast_pow(int x,int y){
    int ret=1;
    for(;y;y>>=1){
        if(y&1) ret=1ll*ret*x%MOD;
        x=1ll*x*x%MOD;
    }
    return ret;
}

inline void prework(){
    fac[0]=1; inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=h+w;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD;
    inv[h+w]=fast_pow(fac[h+w],MOD-2);
    for(int i=h+w-1;i;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%MOD;
}

inline int C(int x,int y){
    if(y<0) return 0;
    return 1ll*fac[x]*inv[y]%MOD*inv[x-y]%MOD;  
}

int main(){
    h=rd(),w=rd(),n=rd(); prework();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        node[i].x=rd(),node[i].y=rd();
    node[++n].x=h,node[n].y=w;
    sort(node+1,node+1+n); int x,y;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        x=node[i].x,y=node[i].y;
        f[i]=C(x-1+y-1,y-1);
        for(int j=1;j<i;j++)
            (f[i]-=1ll*f[j]*C(x-node[j].x+y-node[j].y,y-node[j].y)%MOD)%=MOD;
        f[i]=(f[i]+MOD)%MOD;
    }
    printf("%d\n",f[n]);
    return 0;   
}

转载于:https://www.cnblogs.com/sdfzsyq/p/10404628.html