快速沃尔什变换与快速莫比乌斯变换

最新推荐文章于 2024-06-20 21:31:19 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/cmyg/p/10424145.html

本文详细介绍了快速沃尔什-哈达玛变换（FWT）的原理与实现，对比了FWT与快速傅里叶变换（FFT）的区别，并提供了针对and操作的快速莫比乌斯变换（FMT）的探讨，附带了C++代码示例，展示了如何通过FWT进行快速计算。

pre：

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8244902.html

(思路与后续不同，思考如何和后续统一)

以一种高度思考

http://picks.logdown.com/posts/179290-fast-walsh-hadamard-transform

完善

https://blog.youkuaiyun.com/zhshrs/article/details/54838466

代码参考

https://blog.youkuaiyun.com/john123741/article/details/76576925

P.S.:

FFT和FWT，两者虽然某些原理(两分，使用重复项来降低时间复杂度)相似，但是，两个算法风马牛不相及！

快速莫比乌斯变换

study from :

https://yhx-12243.github.io/OI-transit/records/vijos%20%234.html

适用于and or，xor 行不通

FMT写法和FWT是一样的，两者考虑问题角度不一样。

存储函数地址

void (*addr1[3])(ll a[])={fwt1,fwt2,fwt3};
void (*addr2[3])(ll a[])={ufwt1,ufwt2,ufwt3};

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4717

  1 #include <cstdio>
  2 using namespace std;
  3 
  4 #define ll long long
  5 const int maxn=1<<17;
  6 const ll mod=998244353;
  7 const ll inv2=(mod+1)/2;
  8 
  9 ll a[maxn],b[maxn],x[maxn],y[maxn];
 10 int w,n;
 11 
 12 ///or
 13 void fwt1(ll a[])
 14 {
 15     int i,j,k,l;
 16     for (i=2,l=1;i<=n;i<<=1,l<<=1)        ///range
 17         for (j=0;j<n;j+=i)      ///begin_index
 18             for (k=j;k<j+l;k++) ///index
 19                 a[k+l]=(a[k+l]+a[k])%mod;
 20 }
 21 
 22 void ufwt1(ll a[])
 23 {
 24     int i,j,k,l;
 25     for (i=2,l=1;i<=n;i<<=1,l<<=1)        ///range
 26         for (j=0;j<n;j+=i)      ///begin_index
 27             for (k=j;k<j+l;k++) ///index
 28                 a[k+l]=(a[k+l]-a[k])%mod;
 29 }
 30 
 31 ///and
 32 void fwt2(ll a[])
 33 {
 34     int i,j,k,l;
 35     for (i=2,l=1;i<=n;i<<=1,l<<=1)        ///range
 36         for (j=0;j<n;j+=i)      ///begin_index
 37             for (k=j;k<j+l;k++) ///index
 38                 a[k]=(a[k]+a[k+l])%mod;
 39 }
 40 
 41 void ufwt2(ll a[])
 42 {
 43     int i,j,k,l;
 44     for (i=2,l=1;i<=n;i<<=1,l<<=1)        ///range
 45         for (j=0;j<n;j+=i)      ///begin_index
 46             for (k=j;k<j+l;k++) ///index
 47                 a[k]=(a[k]-a[k+l])%mod;
 48 }
 49 
 50 ///xor
 51 void fwt3(ll a[])
 52 {
 53     int i,j,k,l;
 54     ll m;
 55     for (i=2,l=1;i<=n;i<<=1,l<<=1)        ///range
 56         for (j=0;j<n;j+=i)      ///begin_index
 57             for (k=j;k<j+l;k++) ///index
 58             {
 59                 m=a[k];
 60                 a[k]=(a[k]+a[k+l])%mod;
 61                 a[k+l]=(m-a[k+l])%mod;
 62             }
 63 }
 64 
 65 void ufwt3(ll a[])
 66 {
 67     int i,j,k,l;
 68     ll m;
 69     for (i=2,l=1;i<=n;i<<=1,l<<=1)        ///range
 70         for (j=0;j<n;j+=i)      ///begin_index
 71             for (k=j;k<j+l;k++) ///index
 72             {
 73                 m=a[k];
 74                 a[k]=(a[k]+a[k+l])*inv2%mod;/// /2
 75                 a[k+l]=(m-a[k+l])*inv2%mod; /// /2
 76             }
 77 }
 78 
 79 void init()
 80 {
 81     int i;
 82     for (i=0;i<n;i++)
 83         a[i]=x[i],b[i]=y[i];
 84 }
 85 
 86 void cal()
 87 {
 88     int i;
 89     for (i=0;i<n;i++)
 90         a[i]=a[i]*b[i]%mod;
 91 }
 92 
 93 void print()
 94 {
 95     int i;
 96     for (i=0;i<n;i++)
 97         printf("%lld%c",(a[i]+mod)%mod,i==n-1?'\n':' ');
 98 }
 99 
100 int main()
101 {
102     int i;
103     scanf("%d",&w);
104     n=1<<w;
105     for (i=0;i<n;i++)
106         scanf("%lld",&x[i]);
107     for (i=0;i<n;i++)
108         scanf("%lld",&y[i]);
109 
110     void (*addr1[3])(ll a[])={fwt1,fwt2,fwt3};
111     void (*addr2[3])(ll a[])={ufwt1,ufwt2,ufwt3};
112     for (i=0;i<3;i++)
113     {
114         init();
115         (*addr1[i])(a);
116         (*addr1[i])(b);
117         cal();
118         (*addr2[i])(a);
119         print();
120     }
121     return 0;
122 }