多项式算法3：FWT\FMT（快速沃尔什变换\快速莫比乌斯变换）

前言

对于一个序列，将其中的元素一一映射到一个多项式函数的系数上，这个多项式函数便叫做该序列的生成函数。
对于序列$f_0,f_1,\cdots ,f_n$，$f(x)={\sum }_{i=0}^n{f}_i{x}^i$为其生成函数，我们一般叫他们多项式。
卷积是通过两个函数$f$和$g$生成第三个函数的一种数学运算，其本质是一种特殊的积分变换。
当多项式卷积为$C_k={\sum }_{i+j=k}{A}_i\times B_j$。
我们可以用FFT，NTT来做。
而当多项式卷积为（这里$\oplus$指代异或）：$$C_k=\sum _{i|j=k}{A}_i\times B_j$$$$C_k=\sum _{i\&j=k}{A}_i\times B_j$$$$C_k=\sum _{i\oplus j=k}{A}_i\times B_j$$我们的FFT，NTT就不能派上用场了，这就要用到下面讲的FWT\FMT。而一般来讲，FMT（快速莫比乌斯变换）处理OR，AND问题，而FWT（快速沃尔什变换）是处理XOR问题的。

正文

OR运算的FMT

我们不妨先回忆一下FFT的思路：
先对于一个多项式求出它在带入若干单位根后的点值表示法，然后把点值表示法下的多项式乘起来，然后再把点值表示法变成多项式表示法。
FMT的思路与此类似。
不过，由于这三类与位运算关联的多项式卷积有其特殊的性质，我们不再代入若干指定的值，而是先进行一些变换。
我们不妨进行如下定义：
要求$$c_k=\sum _{i|j=k}{a}_i\times b_j$$设$$FMT(f_n)=\sum _{i|n=n}{f}_i$$不难发现
$$\begin{gathered} FMT(a_t)\times FMT(b_t) \\ =({\sum }_{i|t=t}{a}_i)\times ({\sum }_{j|t=t}{b}_j) \\ ={\sum }_{i|t=t}{\sum }_{j|t=t}(a_i\times b_j) \\ ={\sum }_{(i|j)|t=t}(a_i\times b_j) \\ =FMT(c_t) \end{gathered}$$
由此可得 F M T ( a t ) × F M T ( b t ) = F M T ( c t ) FMT(a_t) \times FMT(b_t)=FMT(c_t) FMT(at​)×FMT(bt​)=FMT(c