乘法逆元

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乘法逆元

定义

若ax≡1modpax≡1modp,则称xx是aa在modpmodp意义下的逆元，记为x≡a−1modpx≡a−1modp

当然，aa也是xx在modpmodp意义下的逆元

ab=a⋅b−1ab=a⋅b−1

几乎所有模意义下的除法都需要逆元

有逆元的充要条件

aa在modpmodp意义下有逆元的充要条件：(a,p)=1(a,p)=1

逆元的求法

EXGCD

若求aa在modpmodp意义下的逆元，则可以转化为求解如下方程

ax+py=1ax+py=1

有EXGCD的相关知识可以得到，当且仅当(a,p)=1(a,p)=1时有解（有逆元的充要条件的证明）

费马小定理

如果pp为质数，则ap−1≡1modpap−1≡1modp

∴a⋅ap−2≡1∴a⋅ap−2≡1

∴ap−2≡a−1∴ap−2≡a−1

欧拉定理

将费马小定理中的p−2p−2换为φ(p)−1φ(p)−1即可

pp可以不是质数

递推

用于O(n)O(n)预处理[1⋯n][1⋯n]的逆元

构造p=ki+rp=ki+r

∴ki+r≡0modp∴ki+r≡0modp

∴ki=−r∴ki=−r

∴i−1=−k⋅r−1∴i−1=−k⋅r−1

其中k=⌊pi⌋,r=p%ik=⌊pi⌋,r=p%i

∴i−1=−⌊pi⌋⋅inv[p%i]∴i−1=−⌊pi⌋⋅inv[p%i]

为了防止出现负数，通常的写法是这样的

inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;

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