Card Collector(期望+min-max容斥)

最新推荐文章于 2021-06-24 22:54:17 发布

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文章标签：数据结构与算法

原文链接：http://www.cnblogs.com/winlere/p/10828345.html

博客围绕Card Collector问题展开，该问题是买方便面附赠卡牌，有n种卡，每种卡出现概率为pi，求集齐所有卡的期望购买包数。介绍了解题需理解单种卡期望购买包数的计算，指出直接将各卡期望相加错误，应采用容斥原理，最终得出min - max容斥公式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Card Collector(期望+min-max容斥)

Card Collector

woc居然在毫不知情的情况下写出一个min-max容斥

题意

买一包方便面有几率附赠一张卡，有$n$种卡，每种卡出现的概率是$p_i$,保证$\Sigma p_i \le 1$，集齐所有种类卡牌期望买多少包方便面？

解法

看次题解前，你必须要理解当只有一种卡，他出现的概率是$p$，那么我期望购买$\frac 1 p $包方便面就可以获得这种卡。

否则请你右上角，因为博主不会解释...

唯一的解释就是：

(期望购买包数)$\times$(每包里面出现一张的概率)=(张数)

所以把概率除过去就好了...

我们想把所有$\frac 1 p$加起来，发现这样的错误的，原因是我们忽略了每次抽卡牌的时候可能抽到别的卡牌，把所有$\frac 1 p $加起来相当于必须抽到一张卡牌后才能抽到另一张，这样是不对的。

但是这样启示我们可以容斥，根据一些显然的概率原理(如果你不承认就右上角)，出现$1$或者$2$号卡牌的概率是$p_1+p_2$。那么，$\frac 1 {p_1+p_2}$的意思是，我抽到一张$1$或者$2$的期望次数。那么，抽到一张$1$和一张$2$的期望次数就是
\[ 1/p_1+1/p_2-1/(p_1+p_2) \]
为什么我们的期望里要减去$1/(p_1+p_2)$，因为我抽$1$的时候可能抽出$2$，会省下一点期望，这个期望具体的值就是$1/(p_1+p_2)$(看不懂就右上角)。

所以我们就可以愉快地容斥了
\[ E(A)=\sum_{t \subseteq U}(-1)^{|t|}(\frac 1 {\sum _{p \in t}p}) \]

实际上，这个式子就是$min-max$容斥。

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=25;
int num[maxn],n;
long double ans;
long double p[maxn];

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
      freopen("in.in","r",stdin);
      freopen("out.out","w",stdout);
#endif
      num[1]=1;
      for(register int t=2;t<maxn;++t)
        num[t]=num[t-1]<<1;
      while(~scanf("%ds",&n)){
        for(register int t=1;t<=n;++t)
          scanf("%Lf",&p[t]);
        for(register int t=1,edd=1<<n;t<edd;++t){
          long double delt=0;
          register int cnt=0;
          for(register int i=1;i<=n;++i)
            if(t&num[i]){
                  delt+=p[i];
                  ++cnt;
            }
          if(cnt&1) ans+=1.0/delt;
          else ans-=1.0/delt;
        }
        printf("%.4Lf\n",ans);
        ans=0;
      }
      return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/winlere/p/10828345.html