hdu 5407【LCM性质】+【逆元】（结论题）

最新推荐文章于 2021-02-17 21:48:11 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/00isok/p/9393223.html

本文探讨了如何求解组合数的最小公倍数(LCM)问题，给出了一种高效算法，即通过质因数分解法求解1到n的LCM，并利用逆元知识处理大数问题。

<题目链接>

<转载于 >>> >

Problem Description

CRB has

Input

There are multiple test cases. The first line of input contains an integer

Output

For each test case, output a single integer – LCM modulo 1000000007(

Sample Input

Sample Output

题目大意：

题目大意就是求： lcm(C(n,0),C(n,1),C(n,2),,,,C(n,n))

解题分析：

有一个对应的结论： lcm(C(n,0),C(n,1),C(n,2),,,,C(n,n)) = lcm(1,2,,,,n,n+1)/(n+1)。

于是这道题就变成了求（1~n）的lcm，当然，直接暴力求解会超时，还有求LCM的更加高效的解法，叫做分解质因数法。并且，由于（n+1）可能很大，所以还要用到逆元的知识。

辅助理解的博客 >>>

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1000005;
const LL mod = 1000000007;
LL f[N];
LL gcd(LL a,LL b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

LL extend_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(!b){
        x=1,y = 0;
        return a;
    }else{
        LL x1,y1;
        LL d = extend_gcd(b,a%b,x1,y1);
        x = y1;
        y = x1 - a/b*y1;
        return d;
    }
}
LL mod_reverse(LL a,LL n)
{
    LL x,y;
    LL d=extend_gcd(a,n,x,y);
    if(d==1) return (x%n+n)%n;
    else return -1;
}
int prime[N];
LL F[N];
bool only_divide(int n){
    int t = prime[n];
    while(n%t==0){
        n/=t;
    }
    if(n==1) return true;
    return false;
}
void init(){
    for(int i=1;i<N;i++){
        prime[i] = i;
    }
    for(int i=2;i<N;i++){  ///十分巧妙的一步,判断某个数是否只有唯一的质因子,只需要把每个数的倍数存下来
        if(prime[i]==i){
            for(int j=i+i;j<N;j+=i){
                prime[j] = i;
            }
        }
    }
    F[1] = 1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(only_divide(i)){
            F[i] = F[i-1]*prime[i]%mod;
        }else F[i] = F[i-1];
    }
}
int main()
{
    init();
    int tcase;
    scanf("%d",&tcase);
    while(tcase--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        LL inv = mod_reverse((n+1),mod);
        printf("%lld\n",F[n+1]*inv%mod);
    }
    return 0;
}