函数的功能与坐标轴的理解

函数实现从 x → y 的映射；

• 如果 x 的取值范围固定，无论是 f(x),g(x),g(12x)，其自变量的取值范围都是固定的；
• 不要固化地将 x 理解为自变量，将 y 理解为因变量，与符号无关，与具体的物理意义有关；

0 坐标轴的含义

考虑一个点 (x,y) 或者三维的形式 (x,y,z)

• x 轴代表一个维度（one dimension），或者属性信息
• y 轴代表一个维度（one dimension），或者属性信息
• z 轴代表一个维度（one dimension），或者属性信息

如果仅仅是根据点的属性信息，描点连线的话，属性之间是彼此独立（正交）的，
如果假设这样一种情况，比如平面直角坐标系上的点，本身来自于，y=2x，
此时就变成了我们通常所理解的函数了，

• x 是自变量（independent variable），
• y 是因变量（dependent variable），

1. 隐函数

x,y 是两个独立的变量，或者记号（notation），y(x) 则是关于 x 的函数（和 f(x) 的功能是一致的，f(x),g(x) 都是关于自变量的函数，只是不同的函数形式罢了）。

dydx=3x2+4x+22(y−1),y(0)=−1

解得：y2−2y=x3+2x2+2x+3，这是隐函数的形式，当然可以继续化简，得到：y=1+±x3+2x2+2x+3−−−−−−−−−−−−−−√。

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• y=f(x) 是一元函数（只有一个自变量 x，y 是因变量，因变量的含义就是，只要 x 确定，y 也随之确定），
• f(x)−y=0，是方程，方程的定义是含有未知数的等式；
• 函数与方程不是一回事，函数刻画的是因变量随自变量的变化情况（y=f(x)），只有 x 是自由变化的，而方程，需要变量之间（不存在自变量与因变量的概念）保持一种关系使等式成立。

3. 单射、满射与双射

• 单射：设 f 是由集合A到集合B的映射，如果所有 x,y∈A, 且 x≠y，都有f(x)≠f(y)，则称f为由 A 到 B 的单射。

  • 显然关于某一 y=k 的竖线对称的函数（f(3−a)=f(3+a)，关于 y=3 对称），一定不是单射函数；

• 满射：如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像)，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应，那这个映射就叫做满射。

• 双射：既是单射有是满射；
  一一对应；

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