算法导论 CLRS 25.2-3 解答

证明前驱子图Gπ,i是以i为根的一个最短路径树，需要依次证明如下性质：

 1. Gπ,i没有环路

 2. i到Gπ,i中任意顶点有且只有一条路径

 3. 证明该路径为最短路径

 

性质1证明

 

π_i,j=k, 则d_i,j <= d_i,k + w(k,j), 假设存在环路c为(v₀, v₁, v₂,...v_k), v_k=v₀, 且是在更新v_i的π值时第一次形成的环, π(v_i)=v_i-1 ，根据π的定义

对于vi有di,v_i < di,v_i-1 + w(v_i-1, vi)

将k-1个不等式和上面的严格不等式相加得到 0 > w(v₀, v₁) + ... + v(v_k, v₀)，和没有负权环路的前提矛盾

 

性质2证明

   a. 存在性证明：归纳法证明，可以证明在修改π时仍然保持该性质

   b. 唯一性证明：由于假设存在i--->j的两条路径p1和p2, p1为i-->x->z-->j, p2为i--->y->z--->j,  (x,y,z)这样的三个点总是存在的， 由于π[i,z]值唯一，与x,y不同矛盾

 

性质3证明

由于d[i,j]为i到j的最短路径，而且根据d[i,j]的计算方式可得d[i,j] = len(i--->j)，因此该路径为最短路径

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