算法导论 25.2 Floyed-Warshall算法

一，Floyed-Warshall算法的思想

        Floyed-Warshall算法（以下简称FW）用一种不同的动态规划公式来解决所有结点对的最短路径问题，有向图的权值可以为负，但不能存在负值环路。与25.1中的方法不同的是，25.1中是通过每次拓展一条边，而FW算法则是用已知最短路径的(i,k)和(k,j)的值来算出(i,j)的最短路径。

二，FW算法的递归定义

        若k=0，dij(k)=wij；若k>=1，dij(k)=min(dij(k-1),dik(k-1)+dkj(k-1))；也就是说，D(0)=W，第k个最短路径权重矩阵D(k)的每个元素应该是D(k-1)对应元素的值与D(k-1)中i到k的最短路径加上k到j的最短路径中的最小值。

三，FW算法的伪代码

FLOYD-WARSHALL(W)

1. n=W.rows

2. D(0)=W

3. for k=1 to n

4.     letD(k)=(dij(k))be a new n*n matrix

5.     for i=1 to n

6.         for j=1 to n

7.             dij(k)=min(dij(k-1),dik(k-1)+dkj(k-1))

8. return D(n)

第1-2行中，令n等于初始矩阵W的行数，并构建了一个最短路径权重矩阵D，让它初始为W；第3-7行中，有三个循环，k循环从1到n，表示对D(1)到D(n)共n个矩阵的遍历，内层的两个循环遍历矩阵D(k)的每个元素，让其满足递归定义；第8行返回最终矩阵D(n)