[SCOI2007]排列

博客先根据数据范围采用全排列方法解题,后介绍正解状压dp。因l <= 10,令dp[i][j]表示状态i、余数为j时的排列个数,给出转移方程并解释其含义,最后得出结果,还提及有重复数字时的处理方法。

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嘟嘟嘟

 

我先瞅了一眼数据范围,l <= 10, T <= 15,然后凭着我不灵光的数学10! * 15 = 54432000 ≈ 5e7,于是我们就水一发全排列,然后就卡过去了……

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cmath>
 5 #include<cstring>
 6 #include<cstdlib>
 7 #include<vector>
 8 #include<queue>
 9 #include<stack>
10 #include<cctype>
11 using namespace std;
12 #define enter puts("")
13 #define space putchar(' ')
14 #define Mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
15 typedef long long ll;
16 typedef double db;
17 const int INF = 0x3f3f3f3f;
18 const db eps = 1e-8;
19 const int maxn = 12;
20 inline ll read()
21 {
22     ll ans = 0;
23     char ch = getchar(), last = ' ';
24     while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
25     while(isdigit(ch)) ans = (ans << 3) + (ans << 1) + ch - '0', ch = getchar();
26     if(last == '-') ans = -ans;
27     return ans;
28 }
29 inline void write(ll x)
30 { 
31     if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
32     if(x >= 10) write(x / 10);
33     putchar(x % 10 + '0');
34 }
35 
36 char c[maxn];
37 int a[maxn];
38 
39 int main()
40 {
41     int T = read();
42     while(T--)
43     {
44         Mem(c); Mem(a);    
45         scanf("%s", c); int n = strlen(c);
46         int d = read(), ans = 0;
47         for(int i = 0; i < n; ++i) a[i] = c[i] - '0';
48         sort(a, a + n);
49         do
50         {
51             ll x = 0;
52             for(int i = 0; i < n; ++i) x = x * 10 + a[i];
53             if(!(x % d)) ans++;
54         }while(next_permutation(a, a + n));
55         write(ans); enter;
56     }
57 }
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然而大家都知道,我是个负责的人,怎么能发一篇这么水的博客呢?必须得叨叨正解呀。

因为 l <= 10(说第二遍了),所以可以状压dp,令dp[i][j]表示状态 i ,余数为 j 时的排列个数。i 就是一个长度为n的二进制数,第q位为1代表选了,否则没选,比如1101代表只选了第1,2和4个数时的状态。

然后我们建一个指针k扫 i 的每一位,如果该位为0,就有转移方程

    dp[i ^ (1 << k)][(j + a[k]) % d] += dp[i][j],

这是啥意思咧,就是说状态为 i 的排列末尾加上a[k]这个数时的排列除以 d 得到的余数的排列个数。比如题中给的一串数:14536,然后  i = 11010,也就是说当前选的数是143,然后枚举k,发现6没选,于是当前状态就选了1436,然而根据后面的(j + a[k]) % d可以得出,这指的实际上是一个特定的排列1436,而不是1436这几个数的其他排列,为什么这时候指的就是一个排列呢?考虑1436组成的其他排列,比如1643,这实际上是由164转化而来,但有人会问,我们 i 也达不到这个状态呀!确实,不过164右可以由16转化过来,16是 i 能达到的。所以说,无论是什么排列,都能通过直接或间接的状态转移过来。因此一个状态实际上表示了很多的排列,枚举状态,就相当于枚举排列了。

这样的话转移方程就好理解了,如果第k位为0,那么状态 i ^ (1 << k) 就由 i 转移过来,至于第二维为什么是这个(j + a[k]) % d呢,很好证:令w表示状态 i 的排列得到的数,则 w % d = j,于是w = d * x + j,把a[k]放在w后面得到新的第二维 (10 * w + a[k]) % d = (10 * (d * x + j) + p) % d = (10 * j + a[k]) % d,证毕。

最后ans = dp[(1 << n) - 1][0]

.最后要考虑的一点,就是有重复的数字,那就除以它出现次数的阶乘次。

代码极好写

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cmath>
 5 #include<cstring>
 6 #include<cstdlib>
 7 #include<vector>
 8 #include<queue>
 9 #include<stack>
10 #include<cctype>
11 using namespace std;
12 #define enter puts("")
13 #define space putchar(' ')
14 #define Mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
15 typedef long long ll;
16 typedef double db;
17 const int INF = 0x3f3f3f3f;
18 const db eps = 1e-8;
19 const int maxn = 12;
20 const int max_size = 1e3 + 5;
21 inline ll read()
22 {
23     ll ans = 0;
24     char ch = getchar(), last = ' ';
25     while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
26     while(isdigit(ch)) ans = (ans << 3) + (ans << 1) + ch - '0', ch = getchar();
27     if(last == '-') ans = -ans;
28     return ans;
29 }
30 inline void write(ll x)
31 { 
32     if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
33     if(x >= 10) write(x / 10);
34     putchar(x % 10 + '0');
35 }
36 
37 char c[maxn];
38 int num[maxn];
39 ll dp[1 << maxn][max_size];
40 
41 int main()
42 {
43     int T = read();
44     while(T--)
45     {
46         Mem(c); Mem(num); Mem(dp);
47         scanf("%s", c + 1); int n = strlen(c + 1);
48         for(int i = 1; i <= n; ++i) num[c[i] - '0']++;
49         int d = read();
50         dp[0][0] = 1;
51         for(int i = 0; i < (1 << n); ++i)
52             for(int j = 0; j < d; ++j)
53                 for(int k = 0; k < n; ++k) if(!(i & (1 << k)))
54                     dp[i ^ (1 << k)][(j * 10 + c[k + 1] - '0') % d] += dp[i][j];
55         ll ans = dp[(1 << n) - 1][0];
56         for(int i = 0; i < 10; ++i)
57             for(int j = 1; j <= num[i]; ++j) ans /= j;
58         write(ans); enter;
59     }
60 }
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转载于:https://www.cnblogs.com/mrclr/p/9539279.html

c++实现一下问题 # P5040 [SCOI2006] k进制集合的映射 ## 题目描述 设$A(N,K)$是全体$N$位$K$进制整数$a$的集合($a$的高位可以为$0$,例如,$0023$可看作一个$4$位$8$进制数,或一个$4$位$5$进制数,由题中指定的条件可以唯一确定),其中$2≤K≤6000$,$N=2$,$3$,$4$,即:$$A(N,K)={a|a=a_1a_2a_3\cdots a_N,0≤a_i≤K-1,i=1,\cdots,N}$$ 设$D(N-1,K)$是$A(N-1,K)$的一个子集,它是由$A(N,K)$生成的一个$N-1$位$K$进制整数$d$的集合,**生成规则如下**: 对任何$d\in D(N-1,K)$,存在$a\in A(N,K)$,使$d=Image(a)$,其中,$d=d_1d_2\cdots d_{N-1},d_i=min(a_i,a_{i+1})$,即$d_i$取为$a_i,a_{i+1}$的最小值。 注1:我们称这个规则为$A(N,K)$ 到$A(N-1,K)$内的一个映射$d=Image(a)$,可以证明这个映射是多对一的,即:如果$d,e\in D(N-1,k)$且$d\not=e$,则对任何满足$d=Image(a),e=Image(c)$的$A(N,K)$中的元素$a,c$,均有$a\not=c$ 注2:对某些$K,N$, $D(N-1,K)$是$A(N-1,K)$的一个真子集,例如$K=4,N=4$,则不存在$a\in A(4,4)$,使$Image(a)=(323)$ **任务**:从文本文件输入两个用空格隔开的整数 $N,K$,然后在指定的文本文件中输出下列表达式的值: $$f(N,K)=\sum_{a\in A(N,K),Image(a)=d}(\prod_{i=1}^{N-1}(d_i+1))$$ 上式表示对$A(N,K)$中的全部元素$a$,对其映像$d=Image(a)=d_1d_2\cdots d_{N-1}$的各位数字加$1$后的乘积求和。 其中$\prod^{N-1}_{i=1}(d_i+1)=(d_1+1)(d_2+1)\cdots(d_{N-1}+1)$ **例**:设$N=2,K=3$,则$A(N,K)={00,01,02,11,10,12,20,21,22}$,正确的输出结果应为$14$。 **提示**:应先建立相应的计算方法,直接利用$f(N,K)$的表达式计算会使多数测试超时。 ## 输入格式 输入文件只有一行:用空格隔开的两个整数N k。 ## 输出格式 输出文件只有一个大整数,为计算结果。 ## 输入输出样例 #1 ### 输入 #1 ``` 2 3 ``` ### 输出 #1 ``` 14 ``` ## 说明/提示 **关于测试的说明**: 数字完全正确,给满分。当输出结果的位数超过$15$位时,如果仅最后两位不准确时给一半分。(每个需测试的计算结果不超过$10^{19}$)。
03-10
中描述了一个幼儿园里分配糖果的问题,每个小朋友都有自己的要求。问题的输入包括两个整数NN和KK,表示幼儿园里的小朋友数量和要满足的要求数量。接下来的KK行表示小朋友们的要求,每行有三个数字,XX,AA,BB。如果X=1,表示第AA个小朋友分到的糖果必须和第BB个小朋友分到的糖果一样多;如果X=2,表示第AA个小朋友分到的糖果必须少于第BB个小朋友分到的糖果;如果X=3,表示第AA个小朋友分到的糖果必须不少于第BB个小朋友分到的糖果;如果X=4,表示第AA个小朋友分到的糖果必须多于第BB个小朋友分到的糖果;如果X=5,表示第AA个小朋友分到的糖果必须不多于第BB个小朋友分到的糖果。这个问题可以被看作是一个差分约束系统的问题。 具体地说,可以使用差分约束系统来解决这个问题。差分约束系统是一种通过给变量之间的关系添加约束来求解最优解的方法。对于这个问题,我们需要根据小朋友们的要求建立约束条件,并通过解决这个约束系统来得出最小的糖果数量。 在问题的输入中,X的取值范围为1到5,分别对应不同的关系约束。根据这些约束,我们可以构建一个差分约束图。图中的节点表示小朋友,边表示糖果数量的关系。根据不同的X值,我们可以添加相应的边和权重。然后,我们可以使用SPFA算法(Shortest Path Faster Algorithm)来求解这个差分约束系统,找到满足所有约束的最小糖果数量。 需要注意的是,在读取输入时需要判断X和Y是否合法,即是否满足X≠Y。如果X=Y,则直接输出-1,因为这种情况下无法满足约束条件。 综上所述,为了满足每个小朋友的要求,并且满足所有的约束条件,我们可以使用差分约束系统和SPFA算法来求解这个问题。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span> #### 引用[.reference_title] - *1* *3* [【差分约束系统】【SCOI2011】糖果 candy](https://blog.youkuaiyun.com/jiangzh7/article/details/8872699)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v92^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"] - *2* [P3275 [SCOI2011]糖果(差分约束板子)](https://blog.youkuaiyun.com/qq_40619297/article/details/88678605)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v92^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"] [ .reference_list ]
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