【BZOJ2318】Spoj4060 game with probability Problem 概率

最新推荐文章于 2020-08-17 15:25:28 发布

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本文解析了一道BZOJ2318博弈问题，通过建立递推方程，讨论了不同情况下投掷硬币的概率选择，并采用限制最大轮数的方法解决大数据输入下的计算问题。

【BZOJ2318】Spoj4060 game with probability Problem

Description

Alice和Bob在玩一个游戏。有n个石子在这里，Alice和Bob轮流投掷硬币，如果正面朝上，则从n个石子中取出一个石子，否则不做任何事。取到最后一颗石子的人胜利。Alice在投掷硬币时有p的概率投掷出他想投的一面，同样，Bob有q的概率投掷出他相投的一面。

现在Alice先手投掷硬币，假设他们都想赢得游戏，问你Alice胜利的概率为多少。

Input

第一行一个正整数t，表示数据组数。

对于每组数据，一行三个数n，p，q。

Output

对于每组数据输出一行一个实数，表示Alice胜利的概率，保留6位小数。

Sample Input

1
1 0.5 0.5

Sample Output

0.666667

HINT

数据范围：

1<=t<=50

0.5<=p,q<=0.99999999

对于100%的数据 1<=n<=99999999

题解：设f[i]表示轮到A投时A的胜率，g[i]表示轮到B投时A的胜率，x表示A投正面的概率，y表示B投正面的概率。

先得出朴素方程：

f[i]=g[i]*(1-x)+g[i-1]*x

g[i]=f[i]*(1-y)+f[i-1]*y

解方程，得

f[i]=(x*g[i-1]+(1-x)*y*f[i-1])/(1-(1-x)*(1-y));
g[i]=(y*f[i-1]+(1-y)*x*g[i-1])/(1-(1-x)*(1-y));

然后容易看出，当f[i-1]<g[i-1]时，x=p,y=q最优，当f[i-1]>g[i-1]时，x=1-p,y=1-q最优

然而n太大了怎么办？我们有黑科技！

当n足够大时f[n]和g[n]一定会稳定在某个值附近，于是我们令n=min(n,1000)就好了

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int n;
double f[1010],g[1010],p,q,x,y;
int main()
{
    int t,n,i;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%lf%lf",&n,&p,&q);
        n=min(n,1000);
        f[0]=0,g[0]=1;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(f[i-1]>g[i-1])    x=1-p,y=1-q;
            else    x=p,y=q;
            f[i]=(x*g[i-1]+(1-x)*y*f[i-1])/(1-(1-x)*(1-y));
            g[i]=(y*f[i-1]+(1-y)*x*g[i-1])/(1-(1-x)*(1-y));
        }
        printf("%.6f\n",f[n]);
    }
    return 0;
}

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