BZOJ.2154.Crash的数字表格(莫比乌斯反演)

最新推荐文章于 2019-09-03 14:17:17 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/SovietPower/p/10690637.html

本文详细解析了一道数学题目，通过反演和线筛积性函数的方法求解给定范围内所有数对的最大公因数为1的情况。介绍了如何使用线筛算法预处理积性函数，以及如何利用反演技巧简化问题。文章提供了完整的代码实现，并讨论了不同算法的时间复杂度。

BZOJ2154
BZOJ2693
洛谷

复习一下反演（虽然这题不久前刚看过，但是已经忘了=-=）。

\(Description\)

给定\(n,m\)，求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\mathbb{lcm}(i,j)\]

\(n,m\leq10^7\)。

\(Solution\)

emmm懒得写惹，看这里叭。套路一定要记熟。
\([\gcd(i,j)=1]\)这种，那种反演不好做就用\(\sum_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]\)去替换。

再写一下线筛积性函数\(F(T)=\sum_{d\mid T}d\mu(d)\)的部分：
首先对于一个质数\(p\)，\(F(p)=\mu(p)+p\mu(p)=1-p\)。
考虑\(a\)的最小质因子\(p\)，若\(a,p\)互质，则\(F(ap)=F(a)F(p)\)。
否则因为\(F(p^k)\)不管\(k\)是几（正整数），都有\(F(p^k)=F(p)=1-p\)，所以\(F(ap)=F(\frac{a}{p^k})F(p^{k+1})=F(a)\)。

单次询问复杂度\(O(\sqrt n)\)。还有两次数论分块的做法（\(O(n)\)的）。
还可以杜教筛=-=

有些题...还是不想去做啊...

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#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define mod 20101009
#define Mod x>=mod&&(x-=mod)
#define Add (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
#define S(x) ((1ll*(x)*(x+1)>>1)%mod)
typedef long long LL;
const int N=1e7+5;

int P[N>>3],F[N];
bool notP[N];

void Init(const int n)
{
    F[1]=1;
    for(int i=2,cnt=0; i<=n; ++i)
    {
        if(!notP[i]) P[++cnt]=i, F[i]=mod+1-i;
        for(int j=1,v; j<=cnt&&(v=i*P[j])<=n; ++j)
        {
            notP[v]=1;
            if(i%P[j]) F[v]=1ll*F[i]*F[P[j]]%mod;
            else {F[v]=F[i]; break;}
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; ++i) F[i]=(F[i-1]+1ll*F[i]*i)%mod;
}

int main()
{
    int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m) std::swap(n,m);
    Init(n);
    LL ans=0;
    for(int i=1,nxt,t1,t2; i<=n; i=nxt+1)
    {
        t1=n/i, t2=m/i, nxt=std::min(n/t1,m/t2);
        ans+=1ll*S(t1)*S(t2)%mod*(F[nxt]-F[i-1]+mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans%mod);

    return 0;
}

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