网络流模型整理·改

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似乎自己之前整理过一点点网络流的东西

但是最近看了几道题目之后发现自己还是太菜了

那么让我们继续整理吧！下面是我目前所学,不定期更新！

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通用科技

拆点

如果对于点有一定的限制，或者我们的问题中还涉及了时间，

我们可以考虑拆点来解决,比如某个点的经过次数,或者时间的分层图,

或者把1个点拆成n个,用最小割来表示选择……都可以通过拆点连边来表示限制条件.

放缩

精度要求不高的实数流可以通过放缩的方式计算,即乘以大倍率再除去

黑白染色

见到棋盘先来一套黑白染色冷静一下就好了

棋盘题千万不要忘记黑白染色！

数据结构优化建图

似乎2-sat也可以这么玩

举个最简单的例子：如果我们的边是对某个区间里面的每个点都要联边，

我们就可以建个线段树，向对应区间联边，线段树节点之间再联边，

这样就可以让边数从$n^{2}$变成$nlogn$

前后缀优化建图

似乎2-sat也可以这么玩

在某些情况下，可能一系列元素中只能选取一个

那在2-sat里面，点从“x为真/假”变成了“前x个为真/假”

网络流里面也可以类似进行操作，

我们就不用从这个点向每个点都联边了，一串inf连下去即可

inf边/反向inf边

这个多见于最小割/最大权闭合子图中

我们的inf边可以代表“两者只能选择一个”，即割掉两者中的一个，

或者“选择a必须选择b”，然后用到最大权闭合子图里面

费用递增

如果对于某条边，其费用是关于流量的一个函数，并且满足他斜率是单调增加的，我们就可以拆边，第x条费用设为$f(x)-f(x-1)$

这样由于我们跑最小费用，每次就会找最小的，流了x时就能正好计算了对应的f(x)

合并

似乎一个不错的建模方法是先建个暴力图，然后看看能不能减少其中的点来优化我们的图

规律1. 如果几个结点的流量的来源完全相同，则可以把它们合并成一个。

规律2. 如果几个结点的流量的去向完全相同，则可以把它们合并成一个。

规律3. 如果从点u到点v有一条容量为∞的边，并且点v除了点u以外没有别的流量来源，则可以把这两个结点合并成一个。

平面图转对偶图

这个……我不是很会

平面图的最小割就对应了对偶图的最短路

转对偶一般使用对象还是网格图，或者有特殊结构的图（看题），

总之要求可以很容易的给每个联通块编号，并且能用什么东西代表它

一开始我以为这东西就是个狼抓兔子

最后发现事情不太对……平面图转对偶图不仅仅这么简单

由于最短路的复杂度一般是比网络流优秀的

所以……如果一张图可以转对偶，原来的解法边点又很多，那么我们不妨试试转对偶

Hall定理

　　　　？？？？？？

　　　　不会！留坑待填！

回路限制

这种题之前见过两道，都是非常裸的那种

一般都是说“要用回路覆盖整个网络”，然后我们限制每个点度数必须为2

可是……今天见了个新题

如果每个点可以选进回路可以不选，每种连边方式有权值，然后要求最大权呢？

怎么感觉这两个都这么像插头DP啊23333

考虑使用费用流，我们当然先黑白染色

然后……我们可以把回路原来的边确定一个方向，比如说纵向边必须黑连白，横向必须白连黑

这样我们把每个点拆为2点x1和x2，连$S-->x1-->x2-->T$，流量为1费用为0

这条x1-->x2的边代表不选

然后我们把原图中有向边对应的x1连向y2，流量1,费用为对应费用

这样如果有一个x1-->y2被流了，x2和y1就都需要另外一个来流它

由于我们跑的费用流的前提是最大流，因此这样我们求出来的解不会存在某个点度数不合法的情况

这样很是妙啊……考场上没有想到拆点处理

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最大流

　　有关题目:

bzoj1711 bzoj1458 bzoj3993

bzoj2095最大流求混合图欧拉回路

这个问题的做法算一个小idea：我们可以用流量来表示“需求量/改变量”等值，

然后通过是否满流来判是否存在合法分配方案

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最小割

似乎首先我们需要一些定理……

　　最大流最小割定理

　　　　也就是说一张图最大流等于最小割。

　　　　感性理解一下的话……你想，最大流是小于等于割的……

　　　　你一个最大流拍上去，S到T就已经不存在通路了……

　　最小割唯一性定理

　　我们需要考虑两个东西：一条边可不可能在最小割中，和一条边一不一定在最小割中

　　 在你跑完一遍最小割之后，在割集上的边是一定满流的

　　 我们给残量网络跑tarjan缩点，如果一条边可能在最小割中，那么它的两端点不在同一个联通块里；

　　 如果一条边一定在最小割中，那么其（原图上）的起点会和S在一个联通块里，终点会和T在一个联通块里。

经典用法

　　最常见的模型是“每个决策有多种选择，我们选择其中的一个”这种问题

最小割中的“割掉”就代表了“选择/不选择”

这个代表选择还是不选择看你最后要最大还是最小……

如果要最大，我们一开始先累加sum，再减去最小割

因为建图之后如果有流量就证明存在冲突，

没有流量的时候我们就用最小的代价消除了所有的冲突

如果我们要最小，那就直接流，割掉的就是选择的

但有的时候也可能会出现有三种或者更多种情况，我们只能选择其中之一

这也好说：我们建一串点，这里面最小的一个就会被割掉

文理分科模型

　　如果点对之间的贡献不仅仅是点权，还有些附加条件(同时选，同时不选，一个选一个不选，blabla……)

我们手动构造一下，由于“ 最小割中的“割掉”就代表了“选择” ”

我们就讨论一下所有选择情况，使对应情况下被割掉的边流量之和等于权值

这似乎被称作“文理分科模型”

距离限制模型

　　这是一种经典模型……因Hnoi的切糕一题得名“切糕模型”

　　我们会有每个元素有多种选择，相邻两个元素之间的选择会相互限制。

　　比如切糕一题限制相邻两个点选择元素的下标不超过D

　　这时，我们从每个下标x向下标x-D连一条inf的边

　　如果相邻两个元素的距离超过D，那么必然会由于inf边的存在而存在其他通路，

导致我们割掉权值更大的边

但是切糕模型不仅仅可以这样用

比如ctst2009的移民站选址，这题的模型就非常不错

被称为切糕改23333

现在相当于每个点有m种选择，每种选择有花费，

但是不同点(比如i,j)的不同选择还会产生选择的标号差($|pi-pj|$)*特定常数($b(i,j)$)的花费

这样我们把任意两个点的相同选择之间加上一条$b(i,j)$的双向边，

如果i割掉了pi，j割掉了pj，那么这俩之间会出现$|pi-pj|$条流量为$b(i,j)$的边

如果最终选择就是pi和pj，那么这$|pi-pj$|条边都会满流

这样就满足了题给模型

这样的确是很666的，我们通过利用最小割的性质(不存在通路)，

并且利用题给条件的特点(pi-pj)来考虑一种建模的改造：为限制距离的边加上权值

总之挺神的……这题也不知道出题人怎么想出来的

还有一种情况：和最短路有关的选择问题：即每个点到1最短路长度不同不同有不同收益

这样的话，我们就把距离限制看成边，对于原图边$u->v$,我们转化为限制$|d_{u}-d{v}|<=1$

然后开始跑就行了

再来一个小问题：如果现在在网格图上，不是限制相邻两个的差不超过定值，而是限制和不超过定值呢？

那么我们黑白染色，黑点建决策链从1到n,白点从n到1，这样的话就可以用之前差的连边方式处理和了。

如何选择最大的元素:

　　把原来的权值x变成maxn-x，maxn为一个大于全部x的值，

　　这样割掉的最小边就是原来的最大值了，然后就可以了。这样建图的确很巧。

如何处理损耗

　　把一开始的流量设置为收益+损耗，累加的时候只加收益

　　这样的话，我们如果最后的决策是损耗，答案就会贡献“收益-（收益+损耗）”= -损耗

有关题目

---over----
bzoj1001 bzoj1797 bzoj3144 bzoj3218
bzoj1497 bzoj3996 bzoj2756 bzoj2127
bzoj2039 bzoj3774
---waiting---
bzoj4519 bzoj4435 bzoj2229 bzoj3681
codeforces793G bzoj4957

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最大权闭合子图

　　经典模型

最常见的最大权闭合子图只是在最小割的基础上用inf边添加一些限制条件即可

有的时候，最大权闭合子图做着做着会变成最小割

也就是说，如果我们现在不是说“选x必须选y”，

而是“我们可以选z之后选y，也可以选x之后选y”

概括的说就是当我们用最大权闭合子图处理“或“的条件的时候

朴素的做法行不通了

这时候，我们可以考虑所有可能的情况，然后把他们串到一起跑最小割。

并且串到一起的顺序也是有讲究的……不能串乱了

---over----

bzoj1565 bzoj4873 bzoj4501 bzoj3438

bzoj3232

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费用流

序列限制问题:

　　(据说这些都是用线性规划推出来的......我并不会)

　　模型之一是k覆盖问题,给出一些带权区间,权值为a要求选出一部分使得每个数最多被k个区间覆盖并且所选区间权值和最大

　　　　先把序列用流量为k的边串起来(S->1->2->3.......->n->T这样),这样限制了经过次数k

　　　　接着为了选权值最大,我们由每个区间的左端点l向右端点右侧(r+1)连流量为1,权值为ai,然后跑一个最大费用最大流即可

　　　　由于我们跑的费用流建立在最大流的基础上,因此每个点被覆盖的次数不会超过k次,否则就会在后续增广时反悔

　　还有一个相似的模型是每个点有权值a,每个长度为m的区间最多能选k个,要求所选点权最大

　　　　同样把序列串起来,然后对于每个点i向它后方第m+1个点连流量为1,费用为ai的边,同样跑一个最大费用最大流

　　　　感性理解和上面那种建模类似,但是具体证明需要线性规划的知识......

　　好吧我在这里写了写不用线性规划的理解方式……想看可以看一看

　　其实这种模型可以概括为一类”核糖体+tRNA“模型（名字我自己起的233）

　　也就是说，那个长度为m的区间就是移动的核糖体，我们从原点放出来k个tRNA（流量），

　　然后对于每一个长度为m的操作区间，每个tRNA都只能操作一次

　　这个操作的体现就是流经我们上面加的那个跳跃的边……然后他会跳到m个单位长度之后，那是第一个不包含它的区间

　　然后在下面我们连一溜点，流量体现了我们对”不进行操作“的限制，即限制一段区间只能有一些tRNA不进行操作

　　也就是说 我们通过下面的流量逼着tRNA去走上面的边

　　然后大概就可以了，这样我们就能跑出来对应的限制

　　当然，如果我们用线性规划的话，我们可以用把等式差分的方法来解决，不在这里讨论了。

有关题目

---over----
bzoj1877 bzoj2548 bzoj3876 bzoj2324

bzoj2055 bzoj1070 bzoj4514 bzoj3171

bzoj2879 bzoj3550 bzoj1283 codechef_SEP12_PARADE

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上下界

　　不用说话，自己体会：http://www.cnblogs.com/liu-runda/p/6262832.html

　　有关题目

---over----

bzoj3876 bzoj2055 bzoj2502 bzoj4200 bzoj4213

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线性规划与网络流

　　经典模型

线性规划在网络流问题中的应用很是广泛,

因为网络流问题可以把每个点/每条边的流入流出量看作变量,把最终答案看作目标函数来解决.

这一部分的知识属于根本性的解决问题方法,掌握这种建模技巧肯定比背建模套路管用

现在我暂时没有时间去学习这方面的知识......联赛之后这个坑一定要补上的.

我回来补坑了

线性规划和网络流的使用和上下界其实长得差不多……

我们考虑，设$x_{i}$为每个变量是否选择，那么大概会有一串柿子像这样：

$\sum x_{j}>=A_{i}$

首先我们转成等式…… 

$\sum x_{j}==y_{i}+A_{i}$

我们加入2个等式$0==0$把这些等式差分

$\sum x_{j}-\sum x_{k}==y_{i}+A_{i}-y_{i+1}-A_{i+1}$

$\sum x_{j}-\sum x_{k}+y_{i+1}-y_{i}+A_{i+1}-A_{i}==0$

然后……这个柿子的本质是流量平衡，减(-)代表流出，加(+)代表流入

我们发现这个东西就是一堆常数项加上一堆变量对吧

然后对于所有的元素 我们都满足一个原则：入正出负

如果两个柿子有相同的变量，那么从负的那个(出)向正的那个(入)连边(辅助变量也算，连inf)

然后如果一个常量x是正的，就由s向它连x;否则它向t连-x

现在我们相当于要求一个可行流

对于常量，我们建立附加源点和汇点，依然遵循入正出负连边

有一种不用动脑子的记忆方法是移项到每个前面都是正的，然后一侧有变量代表出边，一侧代表入边

然后对于附加源汇跑你想跑的流………

上面费用流那个序列限制建模也可以用线性规划来理解

有关题目

　　---over----
　　bzoj1061 bzoj4842

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不清楚分类的题目：

bzoj2095 bzoj4213 bzoj4067

loj6045 loj2006 loj536 bzoj2229

uoj217 uoj168 uoj77 bzoj2597

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