<think>首先，用户的问题是关于C++实现
LCA（最低公共祖先）算法的
倍增方法。我需要提供详细的解释和代码实现。
从系统指令中，我必须：
- 使用$...$格式行内数学表达式。
- 使用$$...$$格式独立公式。
- LaTeX语法正确。
- 使用中文回答。
- 生成相关问题。
- 在回答中引用的段落末尾添加引用标识。
- 结构清晰，帮助用户逐步解决问题，保证真实可靠。
参考引用：
- 引用[1]是关于C++的
LCA倍增法实现。
- 引用[2]解释了
倍增法，并提供了ST表的代码。
- 引用[3]讨论了
LCA的预处理。
- 引用[4]提供了
LCA函数的具体实现。
用户意图是了解如何使用C++实现
LCA倍增法，所以我需要基于这些引用构建回答。
关键点：
-
倍增法是一种优化方法，将线性处理转化为对数级。
-
LCA问题：找到树中两个节点的最低公共祖先。
- 实现步骤包括：
1. 预处理：计算每个节点的深度和
倍增祖先表。
2. 查询：通过
倍增法快速找到
LCA。
从引用[4]中，
LCA函数包括：
- 调整深度：使两个节点在同一深度。
- 然后，使用
倍增法找到
LCA。
步骤分解：
1. **预处理**：
- 计算每个节点的深度（depth）。
- 构建一个表（例如，parent[i][j]），表示节点i的第2^j个祖先。
- 这通常在DFS遍历树后完成。
2. **查询
LCA**：
- 如果节点a深度小于b，则交换。
- 将深度较大的节点向上移动，直到同一深度。
- 然后，同时向上移动a和b，直到找到
LCA。
从引用[4]的代码：
```cpp
int
lca(int a, int b
) {
if
(deep[a] < deep[b]
) swap
(a, b
);
for
(int i = 0;
(1 << i
) <= deep[a]; i++
);
i--;
for
(int j = i; j >= 0; j--
)
if
(deep[a] -
(1 << j
) >= deep[b]
)
a = p[a][j];
if
(a == b
) return a;
for
(int j = i; j >= 0; j--
)
if
(p[a][j] != -1 && p[a][j] != p[b][j]
) {
a = p[a][j];
b = p[b][j];
}
return p[a][0];
}
```
在回答中，我需要：
- 解释概念。
- 提供完整的C++代码示例。
- 确保数学表达式正确：例如，深度差、
倍增原理。
- 生成相关问题。
结构回答：
1. **介绍
LCA和
倍增法**：简要解释问题和算法。
2. **预处理步骤**：描述如何构建深度和祖先表。
3. **查询步骤**：详细解释
倍增查询过程。
4. **完整代码实现**：提供基于引用的完整C++代码。
5. **生成相关问题**：在最后添加相关问题。
数学表达式：
- 行内：如深度差 $ \text{depth}[a] - 2^j \geq \text{depth}[b] $。
- 独立公式：如
倍增原理 $ \text{parent}[i][j] = \text{parent}[\text{parent}[i][j-1]][j-1] $。
使用中文回答。
最后，添加引用标识：在引用段落末尾加[^n]，但引用是基于提供的文本，所以我会在解释时引用它们。
相关问题生成：
- 如：如何优化
LCA算法？其他实现方法？应用场景？</think>### C++实现
LCA（最低公共祖先）
倍增法详解
LCA（最低公共祖先）是树结构中两个节点的最近共同祖先节点。
倍增法通过预处理每个节点的祖先信息，将查询时间复杂度优化到 $O
(\log n
)$，适用于静态树结构。下面我将逐步解释实现原理和C++代码。
#### 1. **
倍增法核心思想**
倍增法利用二进制分解原理：任何整数可表示为 $2^0 + 2^1 + \cdots + 2^k$。预处理时，为每个节点存储其 $2^j$ 级祖先（$j \geq 0$）。查询时，通过“跳步”方式（每次跳 $2^j$ 层）快速调整节点深度并找到
LCA。时间复杂度：
- 预处理：$O
(n \log n
)$
- 查询：$O
(\log n
)$
数学上，祖先表定义如下：
$$
\text{parent}[u][j] = \begin{cases}
\text{直接父节点} & \text{if } j = 0 \\
\text{parent}[\text{parent}[u][j-1]][j-1] & \text{if } j > 0
\end{cases}
$$
这表示节点 $u$ 的第 $2^j$ 个祖先可通过递归查询得到[^4]。
#### 2. **实现步骤**
#####
(1
) 预处理：构建深度和祖先表
- **输入**：树的邻接表表示（节点从1开始编号）。
- **步骤**：
1. 通过DFS计算每个节点的深度 $\text{depth}[u]$。
2. 初始化祖先表 $\text{parent}[u][j]$，其中 $j$ 最大为 $\lfloor \log_2 n \rfloor$。
3. 递归填充祖先表：$\text{parent}[u][j] = \text{parent}[\text{parent}[u][j-1]][j-1]$。
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 100010; // 最大节点数
const int MAXLOG = 20; // 最大对数级别: log2
(MAXN
)
vector<int> tree[MAXN]; // 树的邻接表
int depth[MAXN]; // 节点深度
int parent[MAXN][MAXLOG]; // 祖先表
// DFS遍历树，初始化深度和祖先表
void dfs
(int u, int p
) {
depth[u] = depth[p] + 1;
parent[u][0] = p;
for
(int j = 1; j < MAXLOG; j++
) {
if
(parent[u][j-1] != -1
) {
parent[u][j] = parent[parent[u][j-1]][j-1];
} else {
parent[u][j] = -1; // 无效祖先标记
}
}
for
(int v : tree[u]
) {
if
(v != p
) dfs
(v, u
);
}
}
// 预处理入口
void preprocess
(int root, int n
) {
depth[root] = 0;
for
(int i = 0; i < MAXLOG; i++
) {
parent[root][i] = -1; // 根节点无祖先
}
for
(int v : tree[root]
) {
dfs
(v, root
);
}
}
```
#####
(2
) 查询
LCA：
倍增跳步
- **输入**：两个节点 $a$ 和 $b$。
- **步骤**：
1. **深度对齐**：如果 $\text{depth}[a] < \text{depth}[b]$，交换 $a$ 和 $b$。然后将 $a$ 向上跳步，直到 $\text{depth}[a] = \text{depth}[b]$。跳步时，从最大步长 $2^j$ 开始尝试。
2. **查找
LCA**：如果此时 $a = b$，则 $b$ 是
LCA；否则，同时向上跳 $a$ 和 $b$，直到它们的祖先不同。最终，$\text{parent}[a][0]$ 是
LCA。
```cpp
int
lca(int a, int b
) {
// 确保a深度 ≥ b深度
if
(depth[a] < depth[b]
) swap
(a, b
);
// 计算最大跳步指数 j: 满足 2^j <= depth[a]
int j = 0;
while
((1 << j
) <= depth[a]
) j++;
j--;
// 对齐深度：a向上跳，直到 depth[a] = depth[b]
for
(int k = j; k >= 0; k--
) {
if
(depth[a] -
(1 << k
) >= depth[b]
) {
a = parent[a][k];
}
}
if
(a == b
) return a; // b是a的祖先
// 同时跳步a和b，找
LCA
for
(int k = j; k >= 0; k--
) {
if
(parent[a][k] != -1 && parent[a][k] != parent[b][k]
) {
a = parent[a][k];
b = parent[b][k];
}
}
return parent[a][0]; // 返回直接父节点作为
LCA
}
```
#### 3. **完整代码示例**
以下是一个完整的C++程序，包括树的构建、预处理和查询：
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 100010;
const int MAXLOG = 20;
vector<int> tree[MAXN];
int depth[MAXN], parent[MAXN][MAXLOG];
void dfs
(int u, int p
) {
depth[u] = depth[p] + 1;
parent[u][0] = p;
for
(int j = 1; j < MAXLOG; j++
) {
parent[u][j] =
(parent[u][j-1] == -1
) ? -1 : parent[parent[u][j-1]][j-1];
}
for
(int v : tree[u]
) {
if
(v != p
) dfs
(v, u
);
}
}
void preprocess
(int root, int n
) {
fill
(depth, depth + n + 1, 0
);
for
(int i = 0; i <= n; i++
) {
for
(int j = 0; j < MAXLOG; j++
) parent[i][j] = -1;
}
depth[root] = 0;
for
(int v : tree[root]
) dfs
(v, root
);
}
int
lca(int a, int b
) {
if
(depth[a] < depth[b]
) swap
(a, b
);
int j = log2
(depth[a]
) + 1;
for
(int k = j; k >= 0; k--
) {
if
(depth[a] -
(1 << k
) >= depth[b]
) a = parent[a][k];
}
if
(a == b
) return a;
for
(int k = j; k >= 0; k--
) {
if
(parent[a][k] != -1 && parent[a][k] != parent[b][k]
) {
a = parent[a][k];
b = parent[b][k];
}
}
return parent[a][0];
}
int main
() {
int n = 5; // 节点数
// 示例树: 1-2, 1-3, 2-4, 2-5
tree[1].push_back
(2
); tree[2].push_back
(1
);
tree[1].push_back
(3
); tree[3].push_back
(1
);
tree[2].push_back
(4
); tree[4].push_back
(2
);
tree[2].push_back
(5
); tree[5].push_back
(2
);
preprocess
(1, n
); // 根节点为1
cout << "
LCA(4,5
): " <<
lca(4,5
) << endl; // 输出2
cout << "
LCA(3,4
): " <<
lca(3,4
) << endl; // 输出1
return 0;
}
```
- **代码说明**：
- `preprocess` 初始化深度和祖先表，需在查询前调用一次。
- `
lca` 函数处理查询，时间复杂度 $O
(\log n
)$。
- 示例树中，节点4和5的
LCA是2，节点3和4的
LCA是1[^4]。
#### 4. **关键优化与注意事项**
- **空间优化**：祖先表使用 $O
(n \log n
)$ 空间，可通过稀疏表减少开销。
- **边界处理**：根节点的祖先标记为-1，避免越界。
- **性能**：预处理 $O
(n \log n
)$ 是主要开销，适合查询密集场景。
- **适用场景**：静态树（结构不变），如网络路由、基因树分析[^2]。
倍增法通过二进制分解实现高效跳步，是
LCA问题的经典解法。实际应用中，可结合Tarjan或RMQ进一步优化[^1]。
本文深入讲解两种求解最近公共祖先(LCA)问题的算法：Tarjan算法和倍增算法。Tarjan算法结合并查集从叶子节点向上合并，而倍增算法通过二进制优化实现快速查找。附带详细代码及洛谷P3292题解。
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