hdu 6434 Count (欧拉函数)

转载于 2018-08-22 19:37:00 发布 · 95 阅读

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原文链接：http://www.cnblogs.com/tobyw/p/9519801.html

本文针对一个特定的数学问题，提出了一种高效的解决方法。通过对原始问题的变形和简化，最终将其转换为求解与特定数值互质数的数量问题。文章详细介绍了如何利用欧拉函数的性质来快速求解该问题，并提供了具体的实现代码。

题目链接

Problem Description

Multiple query, for each n, you need to get $$$$$$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i-1}{ [gcd(i + j, i - j) = 1]} $$$$$$

Input

On the first line, there is a positive integer T, which describe the number of queries. Next there are T lines, each line give a positive integer n, as mentioned above.
T<=1e5, n<=2e7

Output

Your output should include T lines, for each line, output the answer for the corre- sponding n.

Sample Input

4
978
438
233
666

Sample Output

194041
38951
11065
89963

题意

给定n，求代数式的值

分析

$$$gcd(i+j,i-j)$$$在形式上不够直观，不好分析，根据$$$gcd$$$的性质转化把它转化为$$$gcd(2j,i-j)$$$，通过交换求和顺序，并把$$$i-j$$$视为整体，原式转化为
$$$$$$ \begin{align} \text{原式}&= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i-1}{ [gcd(i + j, i - j) = 1]}\\ &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i-1}{[gcd(2j, i - j) = 1]}\\ &= \sum_{j=1}^{n-1} \sum_{i=j+1}^{n}{[gcd(2j, i-j) = 1]}\\ &= \sum_{j=1}^{n-1} \sum_{i=1}^{j-1}{[gcd(2j, i) = 1]} \end{align} $$$$$$
注意到$$$\sum_{j=1}^{n-1} \sum_{i=1}^{j-1}$$$其实是在二维平面上三角形的区域内求和，于是进一步改写为：
$$$$$$ \sum_{i,j}^{i+j\le n}{[gcd(2j, i) = 1]} $$$$$$
$$$$$$ \begin{align} \text{令： }& f(n)=\sum_{i,j}^{i+j\le n}{[gcd(2j, i) = 1]}\\ & g(n)=f(n)-f(n-1)=\sum_{i,j}^{i+j=n}{[gcd(2j, i) = 1]} \end{align} $$$$$$ 注意到当$$$i+j=n$$$时，代入$$$j=n-i$$$，可以消掉$$$j$$$，并利用gcd的性质，可以进一步简化$$$g(n)$$$：
$$$$$$ \begin{align} g(n)&=\sum_{i=1}^{n-1}{[gcd(2n-2i, i) = 1]}\\ &=\sum_{i=1}^{n-1}{[gcd(2n, i) = 1]} \end{align} $$$$$$
所以接下来的问题就是，求$$$[1, n-1]$$$内，与$$$2n$$$互质的数有多少个。
这个问题可以继续简化，假设在$$$[1,n-1]$$$范围内，有$$$a_1,a_2,a_3,...a_p$$$与$$$2n$$$互质，那么根据gcd的性质，在$$$[n, 2n-1]$$$的范围内，相应的有$$$2n-a_1,2n-a_2,2n-a_3,...,2n-a_p$$$与$$$2n$$$互质。也就是说，两个范围内与$$$2n$$$互质的数是一样多的，所以结果很简单$$$g(n)$$$就是$$$\varphi(2n)$$$的一半，$$$g(n)=\varphi(2n)/2$$$。
$$$g(n)$$$已经不能再化简了，接下来再来看$$$f(n)$$$就容易多了，根据$$$f(n)$$$的递推式$$$g(n)=f(n)-f(n-1)$$$，很容易发现 $$$$$$ \begin{align} f(n) &=\sum_{i=1}^{n}g(n) \\ & =\sum_{i=1}^{n}{\varphi(2n)/2}\\ & =\frac{\sum_{i=1}^{n}{\varphi(2n)}}{2} \end{align} $$$$$$ 所以只需要对欧拉函数进行打表，并求$$$\varphi(2n)$$$的前缀和，就能知道任何的$$$f(n)$$$。
但是做到这还可以继续优化，这道题的n是2e7，但是却需要对前4e7项欧拉函数打表。可以这样优化一下空间：打表发现，欧拉函数满足下面的性质：
$$$$$$\varphi(2n)= \begin{cases} \varphi(n), & \text{n是奇数}\\[2ex] 2\varphi(n), & \text{n是偶数} \end{cases} $$$$$$ 所以可以将$$$f(n)$$$改为：
$$$$$$ \begin{align} f(n) &=\sum_{i=1}^{n}{\frac{(2-i\&1)\varphi(n)}{2}}\\ &=\sum_{i=1}^{n}{\frac{\varphi(n)}{1+i\&1}} \end{align} $$$$$$ 至此，只需要求出$$$\varphi(i)$$$的前2e7项，并求出上面的前缀和，就能在$$$O(nlogn)$$$求出答案。需要注意的是，前缀和需要用long long保存。另外有一点就是，打表4e7项欧拉函数可能会超时，原因在于板子的效率问题，改用效率更高的欧拉函数打表的板子就不存在超时的问题了（不要问我是怎么知道的）。

总结

为什么手速这么慢，一定是有什么地方想复杂了吧。

代码

#include<stdio.h>
typedef long long LL;
#define maxn 20000000
int p[maxn+7];
LL arr[maxn+7];

int prepare(){
    int i,j;
    //打表欧拉函数
    for(i=1; i<=maxn; i++)
        p[i]=i;
    for(i=2; i<=maxn; i+=2)
        p[i]/=2;
    for(i=3; i<=maxn; i+=2)
        if(p[i]==i){
            for(j=i; j<=maxn; j+=i)
            p[j]=p[j]/i*(i-1);
        }
       /*把规模从2n缩减到n的原因
    phi(2*n)=   phi(n) n奇数
              2*phi(n) n偶数
    arr[n]  =phi(2)/2+phi(4)/2+...phi(2*n)/?
            =phi(1)/2+phi(2)+...phi(n)/?
    */
    arr[1]=p[1]/2;
    for(int i=2;i<=20000000;++i){//求前缀和
        arr[i]=arr[i-1]+p[i]/((i&1)+1);
    }
}

int main(){
    prepare();
    int kase,n;
    for(scanf("%d",&kase);kase;--kase){
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",arr[n]);
    }
    
}