自抗扰控制技术简述

2017年1月23日

#跟踪微分器(Tracking Differentiator)

    时延不同的两个惯性环节的信号相减，再除以时延之差，可以获得不错的微分效果。而惯性环节本质上是对信号的滤波与跟踪。当两个惯性环节相差很小的时候，这样的微分器可以近似表示为：

                $$W(s) = \frac{ r^{2} s } { s^{2} + 2rs + r^{2} }$$

    上式中的跟踪环节实际上是二阶线性系统，相当于二阶滤波器。一般的，跟踪微分器有如下形式：

                $$W(s) = \frac{ r^{m} s } { (s + r)^{ m } }$$

    为什么采取这种结构呢？因为需要快速地追踪输入信号，所以实际上这种结构是零阻尼结构，能够在快速性与超调之间取得平衡。

    非线性跟踪微分器又是什么呢？考虑二阶积分器串联型系统：

            $$

               \left\{

                    \begin{aligned}

                        \dot{ x_{1} } &= x_{2} \\

                        \dot{ x_{2} } &= u,  |u| \leq r 

                    \end{aligned}

                \right.

            $$

    以原点为终点的快速最优控制综合函数（此处存疑）为:

            $$

                u(x_{1}, x_{2}) = -r \text{ sign } ( x_{1} + \frac{ x_{2} | x_{2} | } {2 r } )

            $$

    将上式中的$x_{1}$改为$x_{1} - v_{0}(t)$，其中$v_{0}(t)$表示为需要追踪的信号，则有:

            $$

               \left\{

                    \begin{aligned}

                        \dot{ x_{1} } &= x_{2} \\

                        \dot{ x_{2} } &=    -r \text{ sign } ( x_{1}  -  v_{0}(t)  + \frac{ x_{2} | x_{2} | } {2 r } )

                    \end{aligned}

                \right.

            $$

    这个系统的加速度绝对值限制在r之下，将最快地跟踪输入信号$v_{0}(t)$。r越大，跟踪速度越快。取解分量之一$x_{2}$作为输入信号的近似微分，就可以构成一种非线性跟踪微分器。非线性跟踪微分器的参数效率要比线性的高，相似的滤波效果，非线性跟踪微分器的参数值较小。

    菲利波夫意义：存疑

    关于跟踪微分器的定理：

    设有二阶微分方程

            $$

                \left\{

                    \begin{aligned}

                        \dot{ z_{1} } &= z_{2} \\

                        \dot{ z_{2} } &= f(z_{1}, z_{2})

                    \end{aligned}

                \right.

                $$

    那么，对于任意有界可测信号$v(t),t \in [0, +\infty]$， 以及任意的$T$，如下微分方程：

            $$

                \left\{

                    \begin{aligned}

                        \dot{ x_{1} } &= x_{2} \\

                        \dot{ x_{2} } &= r^{2}f(x_{1} - v(t), \frac { x_{2} } {r} )

                    \end{aligned}

                \right.

                $$

    的解的第一分量$x_{1}(r,t)$将满足$\mathop{\lim}_{ r \to +\infty } { \int_{0}^{T}| x_{1}(r,t) - v(t) | \text{d} t}  = 0 $。即当$r \to +\infty$时，该方程的解分量$x_{1}$将会收敛于给定$v(t)$。

##快速跟踪微分器的离散形式

    最速跟踪微分器直接离散得到形式为：

                $$

                \left\{

                    \begin{aligned}

                        f &= - r \text{sign} ( x_{1}(k) - v(k) + \frac{ x_{2}(k) |x_{2}(k)| }{ 2r } ) \\

                        x_{1}(k+1) &= x_{1}(k) + h x_{2}(k) \\

                        x_{2}(k+1) &= x_{2}(k) + hf

                    \end{aligned}

                \right.

            $$

   最速 跟踪微分器直接离散进行数值计算，在系统进入稳态之后，会产生高频震颤。即使将符号函数换成线性饱和函数，也只能减小而不能避免高频震颤，速度输出依然很难保持为零。因为连续系统的最速控制综合函数离散化后，并不是离散化后的系统的最优控制函数。

    假设有如下离散系统：

                $$

                \left\{

                    \begin{aligned}

                        x_{1}(k+1) &= x_{1}(k) + h x_{2}(k) \\

                        x_{2}(k+1) &= x_{2}(k) + h u , |u| \leq  r

                    \end{aligned}

                \right.

                $$

    该离散系统的最速控制综合函数记作$u = fhan(x_{1}, x_{2}, r, h)$，其公式如下：

            $$

                \begin{equation}

                \left\{

                    \begin{aligned}

                        d &= rh \\

                        d_{0} &= hd \\

                        y &= x_{1} + h x_{2} \\

                        a_{0} &= \sqrt{ d^{2} + 8 r | y | } \\

                        a &= 

                            \left\{

                                \begin{aligned}

                                    &x_{2} + \frac{ (a_{0} - d ) } { 2 } \text{sign}(y), &|y| > d_{0} \\

                                    &x_{2} + \frac{y}{h}, &|y| \leq d_{0}

                                \end{aligned}

                            \right.\\

                        fhan &= - 

                                       \left\{

                                  \begin{aligned}

                                        &r \text{sign}(a), &|a| > d \\ 

                                        &r \frac{a}{d}, &|a| \leq d

                                  \end{aligned}

                                       \right.  

                    \end{aligned}

                \right.

                \label{fhan_equation}

                \end{equation}

            $$

#存疑

    P128，线性反馈闭环系统抑制未知扰动的能力的论述。

   2.7 离散系统快速最优控制综合函数的推导过程为什么需要用到G(2)的等时曲线，因为二阶系统最少需要用到2步才能达到最优状态吗？

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