HDU 3117 Fibonacci Numbers

最新推荐文章于 2020-07-23 15:35:33 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/stvn/p/7975976.html

本文介绍了一种高效处理大数斐波那契数的方法，包括使用数学公式快速计算前四位数字及利用矩阵乘法求得后四位数字的具体实现。适用于n大于等于40的情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3117

题意：

n < 40 时不会超过8位，直接打表输出
n ≥ 40 时：

- 求一个数的前四位：
  - 推导公式：f(n) =\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}(1-(\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}})^{n}]
  - s = d.xxx * 10^{len - 4}
  - 两边取对数得 \log_{10}s = \log_{10}d.xxx + len -4
  - 再得d.xxxx=10^{\log_{10}s-len+4}
  - s =\frac{1}{ \sqrt{5}}*(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n} （s后面的数值太小可以忽略）
  - len = {\log_{10}s + 1
- 后四位：
- 矩阵相乘：\begin{bmatrix}f(n)\\f(n-1) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f(1)\\f(0) \end{bmatrix}*(\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix})^{n-1}

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;

int fib[40];
struct mat {
    int m[2][2];
};

int flag;
int mod = 10000;


void f() {
    fib[0] = 0;
    fib[1] = 1;
    for(int i = 2; ; i++) {
        fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
        if(fib[i] >= pow(10, 8)) {
            flag = i - 1;
            break;
        }
    }
}

int prev(LL n){
  return pow(
      10, (log10(1 / sqrt(5.0)) + n * log10((1 + sqrt(5.0)) / 2.0) -
           (int)(log10(1 / sqrt(5.0)) + n * log10((1 + sqrt(5.0)) / 2.0)) + 3));
}

mat multiply(mat a, mat b) {
    mat c;
    for(int i = 0; i < 2; i++) {
        for(int j = 0; j < 2; j++) {
            c.m[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < 2; k++) {
                c.m[i][j] += (a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod;
                c.m[i][j] %= 10000;
            }
        }
    }
    return c;
}

mat p = {1, 1, 1, 0};
mat q = {1, 0, 0, 1};

mat quickPower(LL n) {
    mat m = p, b = q;
    while(n) {
        if(n & 1) {
            b = multiply(b, m);
        }
        n >>= 1;
        m = multiply(m, m);
    }
    return b;
}

int main() {
    LL n;
    f();

    while (~scanf("%lld", &n)) {
        if(n <= flag) printf("%d\n", fib[n]);
        else {
            printf("%d...%04d\n", prev(n), quickPower(n).m[0][1]);
        }
    }
    return 0;
}