[Luogu P2893][USACO08FEB]修路Making the Grade

最新推荐文章于 2022-11-22 22:03:07 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/lijilai-oi/p/10991660.html

本文介绍了一种使用动态规划解决将序列调整为单调递增或递减以最小化成本的问题。通过离散化高度并优化转移方程，避免了n3的复杂度，实现了高效求解。

题意大致就是求把一段序列改成单调递增或者单调递减最小费用，费用是改前改后的高度之差的绝对值。那就直接用dp去做。我们用dp[i][j]表示把前i段维护成有序的，第i段高度为h[j]时的最小花费。因为我们无论怎么改，其实改后的高度总是出现在原有序列之间的，因为显然改一个那改后的值一定与其左右两边的较小值相平。所以我们把高度离散化得到一个h数组。那么转移方程显然就是：

dp[i][j] = min(dp[i][k]) + abs(a[i] - h[j]);

而我们如果直接暴力枚举所有的k，复杂度为n³，显然会爆炸。考虑优化。我们其实不必枚举k，可以直接在前一次转移时求出最小的dp[i][k]，具体细节看代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<deque>
#define ll long long
#define N 2010
using namespace std;
int n,cnt;
int dp[N][N];
int a[N],h[N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        h[i] = a[i];
    }
    sort(h + 1,h + n + 1);
    int ans = 100000000;
    for(int i = 1;i <= n;i++) 
    {
        for(int j = 1;j <= n;j++)
        {
            if(j == 1) dp[i][j] = dp[i - 1][j] + abs(a[i] - h[j]);//设dp[i][1]为最小的
            else dp[i][j] = min(dp[i][j - 1],dp[i - 1][j] + abs(a[i] - h[j]));//这一步就是求出最小的dp[i][j]
            if(i == n) ans = min(dp[i][j],ans);//最后统计答案
        }
    }
    printf("%d",ans);
     return 0;
}

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