P2893 [USACO08FEB]修路Making the Grade

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基础算法 -- 动态规划

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本文介绍了一种通过动态规划和贪心策略解决单调序列最小花费问题的方法。通过对序列进行离散化处理，利用DP算法计算从序列起点到任意点的最小花费。文章提供了完整的C++代码实现，并详细解释了关键步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目地址

易错点：

由于数据太水，将序列变成单调不下降并计算最小花费即可.
可以考虑枚举每一段路i和每一个高度j，则dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i-1][j]+cost)
高度j范围太大，利用贪心的思想可以将所有可能的高度离散化.
此时dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i-1][j]+abs(a[i]-b[j]).
考虑到边界条件j=1，此时dp[i][j-1]=0，需要特殊处理.

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN=5010;
int a[MAXN],b[MAXN],dp[MAXN][MAXN];
int n;
bool cmp1(int a,int b){
	return a<b;
}
bool cmp2(int a,int b){
	return a>b;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		b[i]=a[i];
	}
	int ans=2e9;
	sort(b+1,b+n+1,cmp1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(j==1)dp[i][j]=dp[i-1][j]+abs(a[i]-b[j]);
			else dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i-1][j]+abs(a[i]-b[j]));
		}
	}
	ans=min(ans,dp[n][n]);
	sort(b+1,b+n+1,cmp2);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(j==1)dp[i][j]=dp[i-1][j]+abs(a[i]-b[j]);
			else dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i-1][j]+abs(a[i]-b[j]));
		}
	}
	printf("%d\n",min(ans,dp[n][n]));
	return 0;
}