洛谷3233 HNOI2014（虚树+dp）

最新推荐文章于 2021-07-21 19:41:25 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/yimmortal/p/10161515.html

本文深入探讨了一种使用虚树进行动态规划(DP)的高级算法，详细讲解了如何构建虚树，以及如何在虚树上进行DP计算。文章通过实例解释了如何通过DFS求出子树对父节点的影响，以及如何利用虚树上的信息扩展到原图的所有点，实现高效的答案统计。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

膜拜一发\(mts\_246，forever\_shi\)

这两位爷是真的无敌！

首先来看这个题，一看题目的数据范围和“关键点”字眼，我们就能得知这是一道虚树题

那就先一如既往的建出来虚树吧
QWQ
但是这之后，应该怎么去dp呢。

首先，我们需要知道在虚树上每个点的从属都是谁，这样才便于我们进一步扩展到虚树之外的点。

那么怎么求这个东西呢？我们可以先通过一编dfs，求出来子树对父亲的影响，也就是从下到上的答案（先\(dfs\)到底，再更新）

void dp1(int x,int flag)
{
 dis[x]=inf;
 bel[x]=0;
 ans[x]=0;
 if (tag[x]==flag)
 {
  dis[x]=0;
  bel[x]=x;
 }
 for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
 {
  int p = to[i];
  int now = val[i];
  dp1(p,flag);
  if ((dis[x]>dis[p]+val[i]) || (dis[x]==dis[p]+val[i] && bel[x]>bel[p]))
  {
   dis[x]=dis[p]+val[i];
   bel[x]=bel[p];
  }
 }
}

然后呢，因为还存在说通过兄弟更新，或者子树之外的点更新的情况，所以我们还需要重新\(dfs\)一遍，不过这次是尝试通过用父亲来更新儿子，也就是从上到下（先更新，后\(dfs\)）

void dp2(int x,int flag)
{
 for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
 {
  int p = to[i];
  int now = val[i];
  if ((dis[p]>dis[x]+val[i]) || (dis[p]==dis[x]+val[i] && bel[p]>bel[x]))
  {
   dis[p]=dis[x]+val[i];
   bel[p]=bel[x];
  }
  dp2(p,flag);
 }
}

至此，我们就得到了所有虚树上的点的\(dis\) 和 \(bel\)，那怎么扩展到所有点呢QWQ

这里就需要一个奇妙的统计答案的技巧了

我们另\(ymh[i]\)表示与\(i\)相同议事处的点的个数。

首先，我们将初值弄成\(size[i]\)，是i在原树的子树大小（这一定是不对的，因为子树中有一些会和他的某个非直系子辈给包含，而他在上面的一片区域，也一定有和他一样的点）

然后我们进行dfs

对于这个东西，显然是要从下向上更新的
所以我们\(dfs\)到底，对于当前\(x->p\)这条边，如果说两个点的\(bel\)是相等的，我们就令\(ymh[x]-=size[p]\)，相当于把原树\(x->p\)这路径附近部分所有的点，都给了\(x\)，不论是合法还是不合法。

那么上一种情况里面不合法的情况，就是两个点之间存在\(bel\)不一样的点，也就是说，会存在一条边\(x->p\)，其中\(bel[x]!=bel[p]\)，那么这条路径之间的东西应该怎么算呢。

不难发现，一定是会存在说，这段路径中间会有一个点，以上全是属于\(bel[x]\)，以下全是属于\(bel[p]\)的。

那么我们可以通过倍增的方式来求出这个点（具体求的时候有一些细节，直接写在代码里面了）

然后假设求出来的点是\(lyf\)，那么\[ymh[p]+=size[lyf]-size[p]，ymh[x]-=size[lyf]\]

原理的话，和上面同理

这种用ymh数组求解的方式，实际上就是先弄一个初值，然后把不合法的（或者是会算重复的）减掉，然后把少算的加进去

QWQ总之就是很巧妙！！！！！！！

既不会算少，也不会算重复

直接放代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk makr_pair
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}
const int maxn = 6e5+1e2;
const int maxm = 2*maxn;
const int inf = 1e9;
int point[maxn],nxt[maxm],to[maxm],val[maxm];
int bel[maxn],dis[maxn],f[maxn][21];
int num[maxn];
int size[maxn],deep[maxn],dfn[maxn];
int cnt,n,m;
int tot,top;
int s[maxn];
int k,a[maxn];
int ymh[maxn],tag[maxn];
int ans[maxn];
void addedge(int x,int y,int w)
{
 nxt[++cnt]=point[x];
 to[cnt]=y;
 val[cnt]=w;
 point[x]=cnt;
}
void dfs(int x,int fa,int dep)
{
 deep[x]=dep;
 dfn[x]=++tot;
    size[x]=1;
    for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
    {
     int p = to[i];
     if (p==fa) continue;
  f[p][0]=x;
     dfs(p,x,dep+1);
     size[x]+=size[p];
 }
}
void init()
{
 for (int j=1;j<=20;j++)
   for (int i=1;i<=n;i++)
   {
     f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
   }
}
int go_up(int x,int d)
{
 for (int i=0;i<=20;i++)
 {
  if (d & (1<<i))
    x=f[x][i];
 }
 return x;
}
int lca(int x,int y)
{
 if (deep[x]>deep[y]) x=go_up(x,deep[x]-deep[y]);
 else y=go_up(y,deep[y]-deep[x]); 
 if (x==y) return x;
 for (int i=20;i>=0;i--)
 {
  if (f[x][i]!=f[y][i])
  {
   x=f[x][i];
   y=f[y][i];
  }
 }
 return f[x][0];
} 
bool cmp(int a,int b)
{
 return dfn[a]<dfn[b];
}
void solve()
{
   sort(a+1,a+1+k,cmp);
   cnt=0;
   top=1;
   s[top]=1;
   for (int i=1;i<=k;i++)
   {
      int l = lca(s[top],a[i]);
      if (l!=s[top])
      {
        while (top>1)
   {
     if (dfn[s[top-1]]>dfn[l])
     {
      addedge(s[top-1],s[top],deep[s[top]]-deep[s[top-1]]);
      top--;
    }
    else
    {
     if (dfn[s[top-1]]==dfn[l])
        {
        addedge(s[top-1],s[top],deep[s[top]]-deep[s[top-1]]);
        top--;
        break;
       }
       else
       {
         addedge(l,s[top],deep[s[top]]-deep[l]);
         s[top]=l;
        break;
    }
    }
   } 
   }
   if (s[top]!=a[i]) s[++top]=a[i];
   }
   while (top>1)
   {
      addedge(s[top-1],s[top],deep[s[top]]-deep[s[top-1]]);
   top--;
   }
}
void dp1(int x,int flag)
{
 dis[x]=inf;
 bel[x]=0;
 ans[x]=0;
 if (tag[x]==flag)
 {
  dis[x]=0;
  bel[x]=x;
 }
 for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
 {
  int p = to[i];
  int now = val[i];
  dp1(p,flag);
  if ((dis[x]>dis[p]+val[i]) || (dis[x]==dis[p]+val[i] && bel[x]>bel[p]))
  {
   dis[x]=dis[p]+val[i];
   bel[x]=bel[p];
  }
 }
}
void dp2(int x,int flag)
{
 for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
 {
  int p = to[i];
  int now = val[i];
  if ((dis[p]>dis[x]+val[i]) || (dis[p]==dis[x]+val[i] && bel[p]>bel[x]))
  {
   dis[p]=dis[x]+val[i];
   bel[p]=bel[x];
  }
  dp2(p,flag);
 }
}
int up(int x,int d)
{
 for (int i=20;i>=0;i--)
   if (deep[f[x][i]]>=d) x=f[x][i];
 return x;
}
void dodo(int x)
{
 ymh[x]=size[x];
 for (int &i=point[x];i;i=nxt[i])
 {
  int p = to[i];
     dodo(p);
     if (bel[x]==bel[p]) ymh[x]-=size[p];
     else
     {
      int now = dis[p]+dis[x]+deep[p]-deep[x]-1; //这里减1的原因是为了后面方便一些，因为偶数的情况，中间那个点的归属不能够直接倍增的时候判断，所以我们需要在后面if的时候，特殊处理一下 
      int st = now/2-dis[p];  //这个是距离to的距离 
      int dd = deep[p]-st; //中间点的深度 
      int lyf = p;
      if(dd>=0) lyf=up(p,dd);
   if ((now&1) && bel[x]>bel[p] && st>=0) lyf = f[lyf][0]; //与上面那个减1相对应，判断中间点的归属 
   ymh[p]+=size[lyf]-size[p]; //把lyf底下的点，都给to 
   ymh[x]-=size[lyf];  //把转折点剩下的部分给fa，由于初值是整个的size，所以直接做减法就好 
  }
  ans[bel[p]]+=ymh[p];
 }
 if (x==1) ans[bel[x]]+=ymh[x];
}
int b[maxn];
int main()
{
  n=read();
  for (int i=1;i<n;i++)
  {
    int x=read(),y=read();
    addedge(x,y,1);
    addedge(y,x,1);
  }
  dfs(1,0,1);
  init();
  memset(point,0,sizeof(point));
  m=read();
  for (int i=1;i<=m;i++)
  {
    k=read();
    for (int j=1;j<=k;j++) a[j]=read(),tag[a[j]]=i,b[j]=a[j];
    solve();
    dp1(1,i);
    dp2(1,i);
    dodo(1);
    for (int j=1;j<=k;j++) cout<<ans[b[j]]<<" ";
    cout<<"\n";
    for (int j=1;j<=k;j++) ans[b[j]]=0;
  }
  return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/yimmortal/p/10161515.html