「USACO08JAN」电话线Telephone Lines 解题报告

最新推荐文章于 2022-08-11 11:12:22 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/hovny/p/10237742.html

本文介绍了一种在加权无向图中寻找特定条件最短路径的算法，通过二分查找优化路径上第K+1大的边权，确保路径费用最小。算法巧妙地结合了图论和搜索技巧，提供了高效解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

大意：在加权无向图上求出一条从 $1$ 号结点到 $N$ 号结点的路径，使路径上第 $K + 1$ 大的边权尽量小。

思路：

由于我们只能直接求最短路，不能记录过程中的具体的边——那样会特别麻烦

所以，我们就尝试着去想更优的办法

题目中所说，能够免去 $K$ 条边的费用，那么对于要建设的边中，肯定免去费用最大 $K $ 条边更优

我们关注的应该是第 $K+1$ 大边的边权，因为其他边权大于这条边边权的边都会被略去

这条边可以枚举吗？

似乎不行，枚举的复杂度还要在最短路的基础上，乘上一个 $M$ ，不就TLE~~（Time Limit Enough）~~了吗……

那么——对于这个边的边权，能不能二分呢？

首先，二分需要满足单调性

题目中，这条第 $K+1$ 大的边边权越小，能够满足的情况越少，反之亦然

因此我们可以使用二分的方法来查找答案

怎么判断满足或不满足

对于边权大于 $mid$ 的边，我们改变它的边权为1，否则为0，然后再跑最短路，这样得出来的结果应该是从 $1$ 号结点到 $N $ 号结点至少要有几条大于 $mid$ 的边，然后与 $K$ 比较，小于 $K$ 则满足，否则不满足

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x7f7f7f7f
#define M 10010
#define N 1010
using namespace std;
struct node{
    int to,cost;
    int nxt;
    node(int a,int b):to(a),cost(b){    }
    node(){ }
}b[M<<1];
int head[N],d[N],vis[N];
int n,m,res,t,ans=INF;//初值一样要为INF
int read()
{
    int s=0;
    char c=getchar();
    while(!isdigit(c))
        c=getchar();
    while(isdigit(c))
    {
        s=(s<<1)+(s<<3)+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return s;
}
void add(int x,int y,int cost)//建边，正反一起
{
    b[++t]=node(y,cost);
    b[t].nxt=head[x];
    head[x]=t;
    b[++t]=node(x,cost);
    b[t].nxt=head[y];
    head[y]=t;
    return;
}
bool BFS(int k)//好吧，这里不算严格的最短路，因为边权变成了0和1，可以直接宽搜搞定，但是下面的程序，
{//明明是一个真SPFA，假宽搜
    int i,to,cur,cost;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        d[i]=INF;
        vis[i]=0;
    }
    queue<int>p;
    p.push(1);
    vis[1]=1;
    d[1]=0;
    while(!p.empty())
    {
        cur=p.front();p.pop();
        vis[cur]=0;
        for(i=head[cur];i;i=b[i].nxt)
        {
            to=b[i].to;
            cost=d[cur]+(b[i].cost>k);//处理边权
            if(cost<d[to])
            {
                d[to]=cost;
                if(!vis[to])
                {
                    vis[to]=1;
                    p.push(to);
                }
            }
        }
    }
    if(d[n]<=res)//判断
        return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    int i;
    int x,y,cost;
    int l,r,mid;
    n=read();m=read();res=read();
    l=r=0;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        x=read();y=read();cost=read();
        add(x,y,cost);//建边，注意是双向的
        r=max(r,cost);//r的上限，可以自己赋为1e6，这是题目中给的最大值
    }
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(BFS(mid))//判断
        {
            ans=mid;
            r=mid-1;
        }
        else
            l=mid+1;
    }
    if(ans==INF)//初值应该为INF，不能为0，因为有可能电信公司比较大方，免费之类的——给我多好
        ans=-1;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}