证明0-1整数规划问题是npc问题_动态规划——用二进制表示集合的状态压缩DP

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今天是算法与数据结构专题的第16篇，也是动态规划系列的第5篇。

今天文章的内容是动态规划当中非常常见的一个分支——状态压缩动态规划，很多人对于状态压缩畏惧如虎，但其实并没有那么难，希望我今天的文章能带你们学到这个经典的应用。

二进制表示状态

在讲解多重背包问题的时候，我们曾经讲过二进制表示法来解决多重背包。利用二进制的性质，将多个物品拆分成少数个物品，转化成了简单的零一背包来解决。今天的状态压缩同样离不开二进制，不过我个人感觉今天的二进制应用更加容易理解一些。

二进制的很多应用离不开集合这个概念，我们都知道在计算机当中，所有数据都是以二进制的形式存储的。一般一个int整形是4个字节，也就是32位bit，我们通过这32位bit上0和1的组合可以表示多大21亿个不同的数。如果我们把这32位bit看成是一个集合，那么每一个数都应该对应集合的一种状态，并且每个数的状态都是不同的。

比如上图当中，我们列举了5个二进制位，我们把其中两个设置成了1，其余的设置成了0。我们通过计算，可以得到6这个数字，那么6也就代表了(00110)这个状态。数字和状态是一一对应的，因为每个整数转化成二进制都是唯一的。

也就是说一个整数可以转化成二进制数，它可以代表某个集合的一个状态，这两者一一对应。这一点非常重要，是后面一切推导的基础。

状态转移

整数的二进制表示可以代表一个二元集合的状态，既然是状态就可以转移。在此基础上，我们可以得出另一个非常重要的结论——我们可以用整数的加减表示状态之间的转移。

我们还用刚才的例子来举例，上面的图当中我们列举了5个二进制位，假设我们用这5个二进制位表示5个小球，这些小球的编号分别是0到4。这样一来，刚才的6可以认为表示拿取了1号和2号两个小球的状态。

如果这个时候我们又拿取了3号小球，那么集合的状态会发生变化，我们用一张图来表示：

上图当中粉丝的笔表示决策，比如我们拿取了3号球就是一个决策，在这个决策的影响下，集合的状