向量积的坐标运算公式推导_向量积坐标表示公式

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表示方法

两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b，避免32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363036和字母x混淆)。

定义

向量积可以被定义为：。

模长：(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°)，它位于这两个矢量所定义的平面上。)

方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。)

也可以这样定义(等效)：

向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin

即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。

而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。

扩展资料：

证明

为了更好地推导，加入三个轴对齐的单位向量i，j，k。

i，j，k满足以下特点：

i=jxk；j=kxi；k=ixj；

kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k；

ixi=jxj=kxk=0；(0是指0向量)

由此可知，i，j，k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

这三个向量的特例就是i=(1，0，0)j=(0，1，0)k=(0，0，1)。

对于处于i，j，k构成的坐标系中的向量u，v我们可以如下表示：

u=Xu*i+Yu*j+Zu*k；

v=Xv*i+Yv*j+Zv*k；

那么uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)

=Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)

由于上面的i，j，k三个向量的特点，所以，最后的结果可以简化为

uxv=(Yu*Zv–Zu*Yv)*i+(Zu*Xv–Xu*Zv)*j+(Xu*Yv–Yu*Xv)*k。