连续概率

最新推荐文章于 2022-04-28 13:02:21 发布

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#概率

本文介绍了几个概率模型在算法竞赛中的应用，包括UVa11346中求以(0,0)和随机点为对角线的长方形面积大于S的概率，UVa10900中求在电视游戏中最大化奖金的期望值策略，以及UVa11971中求随机选取的小木条组成多边形的概率。通过解析问题和建立数学模型，展示了概率在解决复杂问题中的作用。" 124098246,13331283,小程序容器技术：敏捷迭代与移动应用的未来,"['小程序开发', '容器化', '敏捷流程', '移动应用', '开发工具']

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本文为该书的笔记：刘汝佳. 算法竞赛入门经典.第 2 版 [M]. 清华大学出版社, 2014.

UVa11346 概率

在 [-a,a]*[-b,b] 区域内随机取一个点 P ，求以 (0,0)和 P 为对角线的长方形面积大于 S 的概率（ a,b>0 ， S ≥ 0 ）。例如 a=10 ， b=5 ， S=20 ，答案为 23.35 ％。

样例：

Sample Input
3
10 5 20
1 1 1
2 2 0
Sample Output
23.348371%
0.000000%
100.000000%

根据对称性，我们可以只考虑第一象限的情况，在第一象限内以 (0,0)和 P(x,y)为对角线的长方形面积等于 S 的点所组成的曲线为 $y=Sxy=\frac S x$ ，在该曲线上方的点都满足条件。而求正方形内曲线上方的点的面积，我们可以用正方形面积减去阴影部分的面积。

P 点的坐标为 (S/b,b)，故阴影部分面积为：
$Sb×b+∫SbaSx=S+S∫Sba1x\frac S b \times b+\int _{\frac S b} ^a {\frac S x}=S+S\int _{\frac S b} ^a {\frac 1 x}$
$∫Sba1x=ln(a)−ln(Sb)=ln(abS)\int _{\frac S b} ^a {\frac 1 x}=ln(a)-ln(\frac S b)=ln(\frac {ab} S)$
如果设 $m = a b$ ，则概率为 $m−S−Sln(mS)m\frac {m-S-Sln(\frac m S)} m$ 。
但是这个式子是有范围的，如果 m<=S,概率为 1 。当 S 很接近 0 的时候， $mS\frac m S$