【算法】分治法所能解决的问题的特征总结

---

分治法的设计思想：

将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。**

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时序问题，当n=1时，不需任何计算只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1.可缩性。问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；

2.最有子结构性。问题可以分解为若干个规模较小的相同问题；

3.可合性。利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

4.独立性。该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问 题之间不包含公共的子子问题。## 标题

分治思想与递归就像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计中，并由此产生高效的算法！

---

设计递归的思路

最小子结构
子结构
最小子结构与子结构之间的关系
寻找这三个问题的答案时，可以先手算前几个情况的答案，然后找规律。
如果能回答上来这三个问题，题目便迎刃而解了

---

什么时候考虑递归

具有以下特征的问题可考虑递归求解：

当问题和子问题具有递推关系，比如杨辉三角、计算阶乘（后文讨论）。
具有递归性质的数据结构，比如链表、树、图。
反向性问题，比如取反。
总结下来，最根本的还是要抓住问题本身是否可以通过层层拆解到最小粒度来得解。
若有兴趣，请点击->递归的详细解释

---

头递归与尾递归

通过下面的例子来体会头递归与尾递归的区别

//#incldue<链表定义>                 偷懒：）
void print1(LinkList L){
    if(L==NULL) return;
    print1(L->next);  //先递归到链表最尾部 再逆序输出
    printf("%d ",L->data);
    //输出结果 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
}
void print1(LinkList L){
    if(L==NULL) return;
    printf("%d ",L->data);
    print1(L->next);  //输出一个值后 再向下递归
    //输出结果 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
}

---

for循环内嵌递归

递归的思路是：
（1）存在一个问题
（2）这个问题可以通过分解形成一个小一点的相同的问题
（3）小一点的问题继续可以分解成更小的问题
（4）最后得出一个最小的问题，最小问题不是问题
例如：计算n的排列的问题，我们可以将它分解成计算（n−1）!，(n−1)!继续分解(n−1−1）!
最后必定会得出一个最小的问题:0!
而for循环嵌套递归用于
当问题不只一个时，就是说存在一个大的问题，里面有N个同等的中问题，而这N个同等的中问题都可以按递归思路解题，这时候就需要用for来将N个问题遍历了。、

为什么for堪套递归的次数是2的n次方？那是因为每一次for都需要调用两次函数，其中for执行一次，for调用递归又需要再执行一次，又根据乘法定理：如果一个过程分成两个阶段，第一阶段有m种可能的结果，并且对于这个阶段的结果，第二阶段都有n种可能的结果，则按指定的次数序完成整个过程一共有mn种方法。这样就可以得出2的n次方。
//递归调用完，for循环还要继续调用，假设for循环n次，递归执行m次，则一共要调用nm次！
//也就是说，每for循环一次，要调用所有的递归一遍；for循环n次，要调用所有的递归n遍。而如果所有的递归有m次，则总共就是n*m次

一个例子分析下执行过程
for嵌套递归生成树：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
void rec(int n){
    if(n==2) return;
    for(int i=1;i<=2;i++){        
        cout<<i<<" "; rec(n+1);
    }
}
int main(){
    rec(0);
    return 0;
}

运行结果：

运行结果分析：

例子：
求全排列问题
代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=10;
int n;
int path[N];
bool st[N];
void dfs(int u){
    if(u==n){
        for(int i=0;i<n;i++)
            printf("%d",path[i]);
        puts("");
        return;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!st[i]){
            path[u]=i;
            st[i]=true;
            dfs(u+1);
            st[i]=false;
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    dfs(0);
    return 0;
}

---

例题

FJ的字符串串.
通过这个题目，我们可以发现最小的子问题是A1，子问题与最小子问题的递推关系如图。这个问题便迎刃而解。

汉诺塔求最少移动次数
移动3个盘子的过程：
A → C
A → B
C → B
A → C
B → A
B → C
A → C
总共移动了7次

解析：
1个圆盘的时候 2的1次方减1　　　　　2个圆盘的时候 2的2次方减1
3个圆盘的时候 2的3次方减1　　　　　4个圆盘的时候 2的4次方减1
5个圆盘的时候 2的5次方减1
…………
n个圆盘的时候 2的n次方减1!

nclude<stdio.h>
int h(int m)
{
	int s;
	if(m==1)      // 确定初始条件
		s=1;
	else
		s=2*h(m-1)+1;
	return s;
}
int main()
{   
	int n;
	scanf("%d",&n);
	printf("%ld",h(n));
}

更多练习

递归的十个例子（带详尽输入输出）